常微分方程答案一二章(編輯修改稿)
2024-07-21 15:00 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 列方程的解：(4). ；解：原方程兩邊同時除以，得所以原方程的通解是(6). ；解：因為，所以原方程不是恰當(dāng)?shù)?。由可得積分因子，原方程兩邊同時乘以，得即所以故原方程的通解是(8). ；解：因為，所以原方程不是恰當(dāng)?shù)?。由可得積分因子，原方程兩邊同時乘以，得即所以此即為原方程的通解。5. 試證齊次微分方程當(dāng)時有積分因子。證明：齊次微分方程兩邊同時乘以得所以原方程可化為。因為原方程是齊次方程，故可設(shè)令，則又因為所以從而故是齊次微分方程當(dāng)時的積分因子。1. 求解下列方程：(1). ；解：當(dāng)時，原方程可化為令，則，兩邊對求導(dǎo)，得即又時，原方程恒不成立，所以原方程的參數(shù)形式的通解是(3). ；解：令，則，兩邊對求導(dǎo)，得所以或所以原方程的通解是 和 1. 求解下列方程：(3). ；解：原方程兩邊同時乘以，得令，則用常數(shù)變易法易得其解為，故原方程的通解為(11). ；解：原方程可化為由可得，這是一個恰當(dāng)方程，即所以原方程通解為(19). ；解：令，則由原方程可得，故原方程可化為 兩邊對求導(dǎo)，得所以或又時，原方程恒不成立，所以原方程的參數(shù)形式的通解是 和 (29). ；解： 令，則，故所以原方程通解為1. 求方程通過點(0,0)的第三次近似解。解：，令，則為所求的第三次近似解。3. 求初值問題 的解的存在區(qū)間，并求第二次近似解，給出在解的存在空間的誤差估計。解：因為，，所以，從而解得存在區(qū)間為，即。又因為在上連續(xù)，且由可得在上關(guān)于滿足Lipschitz條件，所以Cauchy問題在有唯一解。令，則 誤差為：10. 給定積分方程 (*) 其中是上的已知連續(xù)函數(shù)，是，上的已知連續(xù)函數(shù)。證明當(dāng)足夠小時(是常數(shù))，(*)在上存在唯一的連續(xù)解。證明：分四個步驟來證明。㈠. 構(gòu)造逐步逼近函數(shù)序列由是上的連續(xù)函數(shù)可得在上連續(xù)，故再由是，上的連續(xù)
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