【文章內(nèi)容簡介】 xy y y e? ? ??? ?? ? ?2 1()xxy e x e? ? ? ，, ???111 1 1()d y a x b y ca b a b fd x a x b y c???? ??時，形如23 2 1, , 。.x x xy Ce D e x e? ? ?? ? ? ? ?? ? ?答案：的方程總可以經(jīng)過線性變換化為齊次方程 . 證明當 (五 )、證明題（ 5分） 試確定 的一個特解為 并求該方程的通解 . 切于該點的積分曲線 2( 1 ) 2 0x d y x y d x? ? ? 的通解為1 2xy ??21Cyx? ?答案：311 162y x x? ? ?答案：(一 )、填空題（ 3分 *4=12分） 2. y?? = x的經(jīng)過點 M (0,1), 且與直線 測試 52 y = C1ex +C2e2x 的最低階的齊次線性方程 2039。y y y? ? ?答案：10 12()( ) , ( )fxf ux d x f x? ? ?? 則 2()f x C x??答案：是 20( ) 2 ( ) [ ] .xf x f t d t x??? 的解為。21)( 2 ??? xCeA x 。2121)( 2 ??? xeB x。2121)( 2 ??? ? xeC x .21)( 2 ??? xCeD x答案： B (二 )、選擇題（ 4分 *3=12分） ( ) ( ) ( )y P x y Q x y f x?? ?? ? ?321 , CCC y1, y2 , y3都是方程 的解， 為任意常數(shù)，則其通解為 [ ]. 1 1 2 2 3( ) 。A C y C y y?? 1 1 2 2 3 3( ) 。B C y C y C y??1 1 2 2 1 2 3( ) ( 1 ) 。C C y C y C C y? ? ? ?1 1 2 2 1 2 3( ) ( 1 ) 。D C y C y C C y? ? ? ?答案： C xxx eyxeyey 3,2, 321 ??? ??。0239。239。 ???? yyyy 。039。39。 ???? yyyy。0639。11639。 ???? yyyy .039。39。 ???? yyyy 為特解的三階常系數(shù) 的齊次線性微分方程是 [ ]. (A) (B) (C) (D) 答案： D f (x) 可導，對任何的 x, y, 總有 0( ) ( ) ( ) , ( ) ,yxf x y e f x e f y f e?? ? ? ?1() xf x xe ??答案：(三 )、計算題 （ 7分 *5=35分） 求 f (x). 2 0 2 2 2 1( ) , ( ) , ( )xy x y y y y?? ? ? ?? ? ? ? ?的特解 . 22 l n ( )2xy ??答案：2( 3 ) 2 0xe y dx xy dy? ? ? 2 3 2( 2 2) xx x e x y C? ? ? ?答案：24 4 ( 1 )xy y y e x?? ?? ? ? ? 的通解.21ta n22d y y yd x x y x?? 的通解.2 2 2162( ) ( )xx xy C D x e x e? ? ? ?答案：2s in y Cxx ?答案： ，其上任意一點 P(x,y) 處的曲率等于此曲線在該點的法線段長度的倒數(shù)，且曲線在 (1， 1)處的切線與 x 軸平行 (法線與 x 軸交點為 Q). 1()arc h y x? ? ?答案：(四 )、綜合題（ 12分 *3=36分） 試求 u 的表達式 f (x, y) . 22()u f x y??2222221u u u u x yx y x x? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ，2 2 2 2 2 2 2( , ) c o s sinf x y C x y D x y x y? ? ? ? ? ? ?答案： 具有連續(xù)的二階偏導數(shù)，且 f ( x ) 具有二階連續(xù)導數(shù)， f(0)=0, (0) 1,f ? ?2[ ( ) ( ) ] [ 39。( ) ] 0xy x y f x y dx f x x y dy? ? ? ? ? ，221222s in c o sy x y x x y x y C? ? ? ? ?答案：是全微分方程，求 f ( x ) ， 并解此全微分方程 . 且方程 (五 )、證明題（ 5分） 12( ) , ( ) ( ) ( )y x y x y P x y Q x? ??設(shè) 是 的兩個不同的解，121( ) ( ) .( ) ( )y x y x Cy x y x? ??試證明方程的任何解 y (x ),都有下列等式成立： 這里 C是任意常數(shù) . 例 51 求微分方程 23dy x y x ydx ?? 的通解.23dy xdxyy ??x dxyy dy ?? ?? 232111 332( ln ln )y y x C? ? ? ?13 ,CCe?? 則通解為記 兩邊積分得 解 分離變量得 2323 .xyCey ??2 2 21 2 0()x y dx x dy? ? ? ，2 1 2 0( ) ( )uu d x x d u d xx? ? ? ?212()d u d xux? ? ?? ，112ln ,x Cu? ? ? ?? 即121ln x Cxy?? ? ，這就是方程的通解，1 121ln .xxy? ? ??代入 x = 1, y = 2， 得 C= 1,于是積分曲線是 兩邊積分得 解 設(shè) u= xy, 則 du = yd x + xd y,于是 且過點（ 1， 2）的積分曲線 . 例 52 求滿足方程 例 53 求微分方程 lndy yxydx x?yux? ，d y d uuxd x d x??則，1( ln )d x d ux u u? ? ，11,.C x C xu e y x e??? ? ?積分得 即原方程化為 解 設(shè) 的通解 . l n l n l n( l n 1 ) ,x C u? ? ?l n 1 ,C x u??例 54 求 2 2 22d x d yx x y y y x y?? ? ?2221()()yydy xxyydxxx??? ? ?，積分得 解 原方程化為 的通解 . ,y d y d uu u xx d x d x? ? ?設(shè) 則 于是方程為1 3 1 1()1 2 2 2dxduu u u x? ? ? ???321 ,( 2 )uy C x uxuu? ????代入23( ) ( 2 ) .y x Cy y x? ? ?例 55 求 22()y x y d x x d y? ? ?解 原方程化為 滿足 y (1) =0的特解 . 21 ( ) , ,d y y y yud x x x x? ? ? ?設(shè)則2,1d u d xxu ?? 積分得21,u u Cx? ? ?221.yy Cxxx? ? ? ?例 56 求 24d y y xd x y x????? 解 設(shè) 的通解 . ,xy ???????? ???則2 ,4dd? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?20 3 1 .40? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ????令 ， ，,dd ? ? ?? ? ???? ?a r c t a n22 ,Ce ??? ????這是齊次方程, 解之1a r c t a n22 33 ) ( 1 ) .yxx y Ce???? ? ? ?即（例 57 若 f (x ) 二階連續(xù)可微， 11 1 1 8( ) , ( ) ,ff? ??44[ ( ) ( ) ] ( ) .du xf x f x dy y f x dx??? ? ? 解 這里 求 u (x, y), 使得 ( , ) 4 ( ) , ( , ) ( ) 4 ( ) ,P x y y f x Q x y xf x f x??? ? ?7 39。( ), ( ) 0 ,Q P f xfxx y x?? ? ? ???令 則有71( ) 7 ( ) ,()d f x d x f x C xf x x? ?? ? ??即812( ) ,8Cf x x C? ? ?12 1 , 0 ,CC ??再利用初始條件，則81( , ) .2u x y x y C??于是進一步計算知例 58 設(shè)函數(shù) f (x) 在正實軸上連續(xù)，且等式 ? ?? ??xy yx dttfxdttfydttf1 11 )()()(解 固定 x , 對 y 求導， 對任何正數(shù) x, y 都成立，又 f (1)=3, 求 f (x) . 1( ) ( ) ( ) ,xx f x y f t d t x f y???1 , ( 1 ) 3 ,yf??1( ) ( ) 3 ,xx f x f t d t x???3( ) , ( ) 3 l n ,f x f x x cx? ? ? ? ?( 1 ) 3 , 3 , ( ) 3 l n c f x x? ? ? ? ?兩邊再對 x求導 ,整理得 令 例 59 求微分方程 21l n l nxy x y x? ? ? ? 解 將方程改寫為 的通解 . 21 l n,l n l nyxy x x x x?? ??2l n l n1 l n[]lnd x d xx x x xxy e e d x Cxx????? ?