常微分方程的數(shù)值解法(編輯修改稿)
2025-09-18 20:43 本頁面
【文章內容簡介】 故 而 其中表示f(x, y)對x的k階偏導數(shù)在x = xn點上的值。 泰勒級數(shù)法只要初值問題的真解充分光滑，就可以獲得精確度較高的數(shù)值解。但是須計算y(x)的各階導數(shù)，這當f (x, y)的表達式復雜時是很繁瑣的。因此泰勒級數(shù)法一般只用于求“表頭”（即開頭幾點的數(shù)值解，如y1, y2, y3, , y4等）。另外，用上述級數(shù)法計算表頭時，還可以得到選擇步長h的信息。假定我們要求計算誤差不超過e ，那么，當h滿足條件 （A） （B）時，應該認為是最好的。因為，當條件（A）不滿足時，達不到指定精確度，而當條件（B）不滿足則表明h過小。 能否構造一種格式，既保留泰勒級數(shù)法精確度較高的優(yōu)點，又避免過多的計算f (x, y)的各階偏導數(shù)呢？下面介紹的龍格――庫塔方法就能辦到這一點。 2．龍格――庫塔法 從理論上講，只要函數(shù)y = y(x)在區(qū)間[a, b]上充分光滑，那么它的各階導數(shù)值y(k)(xn)與函數(shù)y(x)在區(qū)間[a, b]上某些點的值就相互有聯(lián)系，就是說，函數(shù)值可用各階導數(shù)值近似地表示出來，反之，各階導數(shù)值也可用函數(shù)在一些點上值的線性組合近似地表示出來。事實上，歐拉法和改進歐拉法也可以看成是導數(shù)值用函數(shù)值的線性組合表示的特例，例如，改進歐拉法可以寫成 （） 此公式也可稱為二階龍格――庫塔公式。 為了導出龍格――庫塔法的一般公式，我們取如下的線性組合形式， （）其中 （）即 而w1, w2,…, wv；b1 =0, b2, b3,…, bv；a21, a31, …, avv1除b1=0外均為待定系數(shù)。適當選取這些系數(shù)，使得局部截斷誤差的階盡可能高即可。 顯然，當g = 1時，（）式就是歐拉公式。 下面我們先導出g =2時的公式。將k1, k2在同一點（xn, yn）泰勒展開，則有 （）將()代入()并與y(xn+h)在xn點的泰勒展開式： 逐項比較，令h、h2項的系數(shù)相等，便得到 把b2作為自由參數(shù)來確定w1和w2，如取b2 = 1，則w1 = w2 = ，a21 = 1，這時（）正好就是改進的歐拉方法，截斷誤差的階為0(h3)。 對于g = 3的情形，我們也可以完全仿上述方法推導出三階龍格――庫塔公式。這時參數(shù)滿足下列條件 （） （）比較簡單的一組解為： b2 =，b3 = 1，a21 = ，a31 = 1，a32 = 2，w1 = ，w2 = ，w3 = 將它代入（）得 ()這就是三階龍格――庫塔公式。當然，參數(shù)的不同選取公式（）就有不一樣的形式，但它們的截斷誤差階都是0(h4)。 通常人們所說的龍格――庫塔法是指四階而言的。我們可以仿照二階的情形推導出此公式，不過太繁雜，此處從略，常用的四階公式是 （）公式()的截斷誤差階為0(h5)。 龍格――庫塔法有精確度高、收斂、穩(wěn)定（在一定的條件下）計算過程中可以改變步長等優(yōu)點，但仍需計算f (x, y)在一些點的值，如四階龍格――庫塔法每計算一步需要算四次f (x, y)的值，這就給實際計算帶來一定的復雜性。因此，它與泰勒級數(shù)法一樣，一般用于計算“表頭”。 用龍格――庫塔法解初值問題 y’ = x2 – y (0≤x≤1) y(0) = 1 （） 解 ： 取 h = ，由（
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