常微分方程的數(shù)值解法(編輯修改稿)
2025-09-18 20:43 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 故 而 其中表示f(x, y)對(duì)x的k階偏導(dǎo)數(shù)在x = xn點(diǎn)上的值。 泰勒級(jí)數(shù)法只要初值問題的真解充分光滑，就可以獲得精確度較高的數(shù)值解。但是須計(jì)算y(x)的各階導(dǎo)數(shù)，這當(dāng)f (x, y)的表達(dá)式復(fù)雜時(shí)是很繁瑣的。因此泰勒級(jí)數(shù)法一般只用于求“表頭”（即開頭幾點(diǎn)的數(shù)值解，如y1, y2, y3, , y4等）。另外，用上述級(jí)數(shù)法計(jì)算表頭時(shí)，還可以得到選擇步長(zhǎng)h的信息。假定我們要求計(jì)算誤差不超過e ，那么，當(dāng)h滿足條件 （A） （B）時(shí)，應(yīng)該認(rèn)為是最好的。因?yàn)?，?dāng)條件（A）不滿足時(shí)，達(dá)不到指定精確度，而當(dāng)條件（B）不滿足則表明h過小。 能否構(gòu)造一種格式，既保留泰勒級(jí)數(shù)法精確度較高的優(yōu)點(diǎn)，又避免過多的計(jì)算f (x, y)的各階偏導(dǎo)數(shù)呢？下面介紹的龍格――庫(kù)塔方法就能辦到這一點(diǎn)。 2．龍格――庫(kù)塔法 從理論上講，只要函數(shù)y = y(x)在區(qū)間[a, b]上充分光滑，那么它的各階導(dǎo)數(shù)值y(k)(xn)與函數(shù)y(x)在區(qū)間[a, b]上某些點(diǎn)的值就相互有聯(lián)系，就是說，函數(shù)值可用各階導(dǎo)數(shù)值近似地表示出來，反之，各階導(dǎo)數(shù)值也可用函數(shù)在一些點(diǎn)上值的線性組合近似地表示出來。事實(shí)上，歐拉法和改進(jìn)歐拉法也可以看成是導(dǎo)數(shù)值用函數(shù)值的線性組合表示的特例，例如，改進(jìn)歐拉法可以寫成 （） 此公式也可稱為二階龍格――庫(kù)塔公式。 為了導(dǎo)出龍格――庫(kù)塔法的一般公式，我們?nèi)∪缦碌木€性組合形式， （）其中 （）即 而w1, w2,…, wv；b1 =0, b2, b3,…, bv；a21, a31, …, avv1除b1=0外均為待定系數(shù)。適當(dāng)選取這些系數(shù)，使得局部截?cái)嗾`差的階盡可能高即可。 顯然，當(dāng)g = 1時(shí)，（）式就是歐拉公式。 下面我們先導(dǎo)出g =2時(shí)的公式。將k1, k2在同一點(diǎn)（xn, yn）泰勒展開，則有 （）將()代入()并與y(xn+h)在xn點(diǎn)的泰勒展開式： 逐項(xiàng)比較，令h、h2項(xiàng)的系數(shù)相等，便得到 把b2作為自由參數(shù)來確定w1和w2，如取b2 = 1，則w1 = w2 = ，a21 = 1，這時(shí)（）正好就是改進(jìn)的歐拉方法，截?cái)嗾`差的階為0(h3)。 對(duì)于g = 3的情形，我們也可以完全仿上述方法推導(dǎo)出三階龍格――庫(kù)塔公式。這時(shí)參數(shù)滿足下列條件 （） （）比較簡(jiǎn)單的一組解為： b2 =，b3 = 1，a21 = ，a31 = 1，a32 = 2，w1 = ，w2 = ，w3 = 將它代入（）得 ()這就是三階龍格――庫(kù)塔公式。當(dāng)然，參數(shù)的不同選取公式（）就有不一樣的形式，但它們的截?cái)嗾`差階都是0(h4)。 通常人們所說的龍格――庫(kù)塔法是指四階而言的。我們可以仿照二階的情形推導(dǎo)出此公式，不過太繁雜，此處從略，常用的四階公式是 （）公式()的截?cái)嗾`差階為0(h5)。 龍格――庫(kù)塔法有精確度高、收斂、穩(wěn)定（在一定的條件下）計(jì)算過程中可以改變步長(zhǎng)等優(yōu)點(diǎn)，但仍需計(jì)算f (x, y)在一些點(diǎn)的值，如四階龍格――庫(kù)塔法每計(jì)算一步需要算四次f (x, y)的值，這就給實(shí)際計(jì)算帶來一定的復(fù)雜性。因此，它與泰勒級(jí)數(shù)法一樣，一般用于計(jì)算“表頭”。 用龍格――庫(kù)塔法解初值問題 y’ = x2 – y (0≤x≤1) y(0) = 1 （） 解 ： 取 h = ，由（
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