常微分方程31可降階的高階微分方程(編輯修改稿)
2025-05-26 06:42 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 也是原方程的解 . 16 02 ????? yyy微分方程 滿足條件 ,10 ??xy210 ?? ?xy 的特解是 1?? xy或 12 ?? xy解 0)(dd ?x 故有yy ? 1Cyy ??可分離變量方程 ,10 ??xy由 ?210 ?? ?xy 211 ?C 即 21??yy ?2222 Cxy ??10 ??xy由 ? 212 ?C ? 12 ?? xy17 012 ????yy求微分方程 的積分曲線 , 使該 積分曲線過點(diǎn) ,21,0 ?????? 且在該點(diǎn)的切線斜率為 2. 解 方程 012 ????yy,dd yppy ???則 ,py ??設(shè) 代入方程 , 得 1dd2 ??yppy ? 12 12 Cyp ?? ?01 ?C ?yxy 2dd ?? ?223232 Cxy ??? ?232 2132???????C所求積分曲線為 232321223????????? xy18 思考題 處上點(diǎn)過曲線對(duì) ))(,()(,0 xfxxfyx ??? x ttfxy 0 ,d)(1軸上的截距等于的切線在.)( 的一般表達(dá)式求 xf解 ))(()( xXxfxfY ????,0?X令 軸上的截距得切線在 y)()( xfxxfY ??? ??x ttfx 0 d)(1)]()([d)(0 xfxxfxttfx ???? 積分方程 過曲線 y = f (x)上點(diǎn) ( x, f (x))處的切線方程為 19 處上點(diǎn)過曲線對(duì) ))(,()(,0 xfxxfyx ??.)( 的一般表達(dá)式求 xf積分方程 兩邊對(duì) x求導(dǎo) , 即 0)()( ????? xfxfx型可降階的方程屬于 ),( yxfy ????)()( xpxf ??令 )()( xpxf ????且 代入上式 ,得 0)()( ??? xpxpx 可分離變量方程 可降階的高階微分方程 ? x t t f x y 0 , d ) ( 1 軸上的截距等于 的切線在 )] ( ) ( [ d ) ( 0 x f x x f x t t f x ? ? ? ? 20 21 ln)( CxCxf ??0)()( ??? xpxpx 可分離變量方程 分離變量并積分 xxpp d1d1 ?? ??得 xCCxp 11 lnlnlnln ????,1xCp ?即 ,)( 1xCxf ??即 再積分 ,得 ? ??? ,dd)( 1 xxCxxf即為所求 . 可降階的高階微分方程 21 4 、 可降階的高階方程的應(yīng)用舉例 例１、 追線問題 速度 v 運(yùn)動(dòng)，方向永遠(yuǎn)指向 P點(diǎn) , 求 M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng) 在 軸上有一點(diǎn) P以 常速度 a沿著 軸 xOxO平面上另有一點(diǎn) M,它以常 正向移動(dòng) 。在 xoy 軌跡 . 解 : 首先我們建立點(diǎn) M運(yùn)動(dòng)時(shí)所滿足的微分 方程模型 . ),( yxM),( 000 yxM0P POyxXa a以 ( , )xy 記點(diǎn) M在時(shí)刻 t 的坐標(biāo)， 以 X記點(diǎn) P在時(shí)刻 t的橫坐標(biāo)， 表示 P點(diǎn)在 t=0的橫坐 標(biāo) , 0X22 圖 ),( yxM),( 000 yxM0P POyxXa a根據(jù)條件有 : （ ） 2 2 2( ) ( )d x d y vd t d t??
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