常微分方程教材(編輯修改稿)
2025-07-21 15:07 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 解和非齊次方程的一個(gè)特解之和齊次方程與線(xiàn)性齊次方程的作用一、 一階線(xiàn)性微分方程定義1：稱(chēng)可轉(zhuǎn)化為形式： (1)的方程為一階線(xiàn)性方程；若，則（1）式稱(chēng)為一階線(xiàn)性齊次方程；，（1）式稱(chēng)為一階線(xiàn)性非齊次方程。 下面我們來(lái)看看方程（1）的解的情形：先看齊次方程： （2） 顯然是可分離變量方程。得，兩邊積分，得 （3）為一階線(xiàn)性齊次方程（2）的通解。 下面我們求（1）的解，由方程（1）和（2）形式的相似性，那它們的解也具有某種相似性。我們用一種常數(shù)變易法來(lái)求（1）的解：假設(shè)為非齊次方程(1)的解，代入方程，得則， 積分，得 則 （4）即為方程（1）的通解。【例1】求的通解。解：由于為一階線(xiàn)性非齊次方程，且，代入（4），得其通解為 ＝[例2] 求的通解。解： 若將看成函數(shù)，作為變量，此方程不是一階線(xiàn)性方程。故將看成函數(shù)，作為變量，則原方程化為： 進(jìn)一步化簡(jiǎn)，為一階線(xiàn)性方程，代入（4），得方程的通解為 。二、 貝努力方程―可化為一階線(xiàn)性方程的方程定義2：稱(chēng)形如：的方程為一階貝努力方程。下面我們看看貝努力方程的解的情形：將方程變形為 ，令，則方程化為，為一階線(xiàn)性方程，故可用上述方法求解，最后將代回，即得通解。【例3】求的通解。解：將方程變形，得 ，為貝努力方程。令，代入，利用（4），得 ，又，所以 為原方程的通解。167。 全微分方程一、內(nèi)容要點(diǎn)：全微分方程的定義及其條件，解的表達(dá)式常見(jiàn)的積分因子。本單元的講課提綱 全微分方程的解法關(guān)鍵在于首先將方程寫(xiě)成 驗(yàn)證如果成立，則可把上式寫(xiě)成解為,求有下列三種方法：1）線(xiàn)積分法 2）偏積分法 3）分組觀察湊全微分法若中，則可以尋求一個(gè)積分因子，使得，即存在使得從而是通解。二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)判斷和求解全微分方程的方法；尋找積分因子的分組觀察法；定義1：如果存在可微函數(shù)，使，則稱(chēng)微全微分方程。命題：（1）為全微分方程 （2）的通解為 ，其中?！纠?】求的通解。解：令，由于，故方程為全微分方程所以 二、可化為全微分方程的方程―積分因子定義2：設(shè)不是全微分方程，如果存在可微函數(shù)使為全微分方程，則稱(chēng)為原方程的積分因子。注：積分因子不唯一，而且一般也沒(méi)有什么固定的方法求解積分因子，故只有多積累才能有效的解題。【例2】（1） ； （2）解：（1） （2） 167。 可降階的高階微分方程一、內(nèi)容要點(diǎn)： 可降階的高階微分方程的三種類(lèi)型： ，找出解的表達(dá)式及解法。 本單元的講課提綱：關(guān)于高階微分方程的解法 求解的思路是通過(guò)變量代換把高階方程的求解化為較低階方程求解，教材介紹了三種可降階方程的類(lèi)型，對(duì)于不屬于這三類(lèi)方程的特殊高階方程有時(shí)也能通過(guò)換元或者全微分等手段變成這三種類(lèi)型進(jìn)行求解。 只需逐步積分即可求解，在求積分過(guò)程中每次都需增加一個(gè)常數(shù)，最后的解應(yīng)包含n個(gè)常數(shù)?？山惦A的二階微分方程 通常的二
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