常微分方程教材-資料下載頁
2025-06-24 15:07本頁面
【正文】 的特解，利用線性微分方程解的結(jié)構(gòu)，可構(gòu)成n個(gè)任意常數(shù)的通解。本單元的作業(yè)：說明1： 把求解常系數(shù)線性齊次微分方程的問題化成求解多項(xiàng)式代數(shù)方程的問題，這不僅僅是一種普通的求方程解的技巧，在線性控制系統(tǒng)中系統(tǒng)和不同的環(huán)節(jié)都可以用常系數(shù)線性微分方程來描述，用拉普拉斯變換導(dǎo)出它的傳遞函數(shù)也是一個(gè)多項(xiàng)式代數(shù)方程，這說明常系數(shù)線性齊次微分方程和多項(xiàng)式代數(shù)方程之間有著本質(zhì)上的聯(lián)系。通過對(duì)多項(xiàng)式代數(shù)方程的分析，可以得到控制系統(tǒng)的特性。說明2：用特征方程求解常系數(shù)線性齊次微分方程要求熟練一、 二階常系數(shù)線性齊次方程的解二、 定義:稱形如 (1),其中為常數(shù)的方程為二階常系數(shù)線性齊次方程.\下面我們來討論其解的結(jié)構(gòu).命題1: 是的解是的解,并稱(2)是(1)的特征方程.(i) 當(dāng)特征方程(2)有兩個(gè)不同的實(shí)根時(shí),則,時(shí)方程(1)的兩個(gè)解,且不恒為常數(shù),從而方程(1)的通解為.(ii) 當(dāng)時(shí),則是(1),代入(1)得 ,所以 則 取,則通解為: (iii) 當(dāng),則,應(yīng)用歐拉公式,得, 構(gòu)造 顯然線性無關(guān),故通解為: [例1] 求通解 (1) (2) (3) 解: (1) 特征方程為 則從而通解為 (2) 特征方程為 則從而通解為 (3) 特征方程為 則從而通解為 (1)特征方程為 (2)(i) 當(dāng)(2)中有單根時(shí),(1)的通解中含:。(ii) 當(dāng)(2)中有重根時(shí),(1)的通解中含: (iii) 當(dāng)(2)中有一對(duì)單復(fù)根時(shí), ,(1)的通解中含: (iv) 當(dāng)(2)中有重單復(fù)根時(shí),(1)中的通解含有: +[例2] 求通解.解: 特征方程為 則,則的通解為167。 常系數(shù)非齊次線性微分方程一、內(nèi)容要點(diǎn)： 二階常系數(shù)非齊次線性方程的定義及在自由項(xiàng)為兩種特殊形式時(shí)用待定系數(shù)法尋找特解。本單元的講課提綱 非齊次常系數(shù)方程的通解可表示為相應(yīng)的齊次方程通解與非齊次方程一個(gè)特解之和，從而關(guān)鍵在于尋求特解，當(dāng)自由項(xiàng)為時(shí)，可通過待定系數(shù)法求特解，應(yīng)熟練掌握，若自由項(xiàng)可寫成若干個(gè)項(xiàng)相加，應(yīng)用線性方程解的結(jié)構(gòu)定理。但自由項(xiàng)不是本節(jié)的兩種形式，可用常數(shù)變易法求特解。二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)常系數(shù)非齊次線性微分方程中自由項(xiàng)的局限性。說明1：非齊次常系數(shù)線性微分方程的解法主要是求它的特解；方程的右邊項(xiàng)應(yīng)理解為系統(tǒng)的輸入，用實(shí)例說明系統(tǒng)的輸入對(duì)輸出的影響。說明2：微分方程的冪級(jí)數(shù)解法可歸入冪級(jí)數(shù)部分介紹定義:稱形式為: （2）方程,為二階常系數(shù)線性非齊次方程.下面討論它的解的結(jié)構(gòu).一、型設(shè)方程（2）的特解結(jié)構(gòu)為：（1） 當(dāng)不是特征根時(shí)，可設(shè)為，即為一m次多項(xiàng)式。（2） 當(dāng)是特征單根時(shí)，可設(shè)為，即為一m＋1次多項(xiàng)式。（3） 當(dāng)是特征重根時(shí)，可設(shè)為，即為一m＋2次多項(xiàng)式?！纠?】 求的通解。解：特征方程為 則，則齊次方程的通解為由于＝0是特征單根，則設(shè)特解為代入方程，比較系數(shù)得 所以 故 特解 所以通解為：二、令，則特解設(shè)為其中若不是特征方程的根，；若是特征方程的根?！纠?】 求的一個(gè)特解。解：特征方程：，則又＝不是特征方程的根，從而特解設(shè)為，代入方程比較系數(shù)，得所以
環(huán)評(píng)公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1