常微分方程的求解方法-資料下載頁
2025-01-20 04:56本頁面
【正文】 ~ ??xx exex )1(21 2 ???? xexx ?????? ??? 121 2最后得到非齊次方程的通解為*~ yyy ??xxx ececexx 2212 121 ???????? ????33 30 補充內(nèi)容 （掌握這個補充內(nèi)容，才可能讀懂參考書） 求解非齊次方程)( xfqyypy ??????特解的關(guān)鍵是，正確地寫出特解形式。 下面，介紹三種右端項為簡單函數(shù) （常數(shù)、一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)）的非齊次方程的特解形式。 第一形式 aqyypy ?????? （即 axf ?)( ） 0 時，當(dāng) ?q 特解為 qay ?~ 0,0 時，當(dāng) ?? pq 特解為 xpay ?~ 第二形式 baxqyypy ??????? （即 baxxf ??)( ） 第三形式 bxaeqyypy ?????? （即 bxaexf ?)( ）33 31 第二形式 baxqyypy ??????? （即 baxxf ??)( ） 【結(jié)論】 （推導(dǎo)省略） 特征方程 02 ??? qprr 情況 件條 特解形式1 0?q 0 不是特征方程的根）（ BAxy ??~2 ,0?p 0?q 0 是單根）（ )(~ BAxxy ??3 ,0?p 0?q 0 是重根）（ )(~ 2 BAxxy ??【補充例題 1 】1432 ??????? xyyy 特解形式 BAxy ??~【補充例題 2 】142 ?????? xyy 特解形式 )(~ BAxxy ??【補充例題 3 】14 ???? xy 特解形式 )(~ 2 BAxxy ?? 下面把這三個例題的特解計算出來。33 32 【補充例題 1 】1432 ??????? xyyy 特解形式 BAx ??~ 【解】 ,~ Ay ?? 0~ ???y,~ BAxy ?? 代入方程中 14)(320 ????? xBAxA 或 1423 ????? xBAAx比較等號兩邊 x 的系數(shù)，得??? 43 ?? A12 ???? BA 解得 ,34??A 35??B特解為 3534~ ??? xy33 33 【補充例題 2 】142 ?????? xyy 特解形式 )(~ BAxxy ?? 【解】 ,2~ BAxy ??? Ay 2~ ???),(~ BAxxy ?? 代入方程中 14)2(22 ???? xBAxA 或 14224 ????? xBAAx比較等號兩邊 x 的系數(shù)，得??? 44 ?? A122 ??? BA 解得 ,1??A 21??B特解為 21~ ??? xy33 34 【補充例題 3 】14 ???? xy 特解形式 )(~ 2 BAxxy ?? 【解】 ),(~ 2 BAxxy ?? ,23~ 2 BxAxy ??? BAxy 26~ ???? 代入方程中 1426 ??? xBAx比較等號兩邊 x 的系數(shù)，得??? ,46 ?A12 ??B ? ,32?A 21??B特解為 23 2132~ xxy ?? 【解二】 本題通過兩次積分，即可以得到通解。? ??? dxxy )14( 122 cxx ???dxcxxy )2( 12? ??? 2123 2132 cxcxx ????33 35 【例 1 】 （ 3 8 8 頁） 求非齊次方程 xyy 5????? 的通解。 【解】 對應(yīng)齊次方程 0???? yy 的特征方程為012 ??r其根為 12,1 ??r 。由此得到齊次方程通解 xx ececy ??? 21* 。 因為 0 不是特征方程的根，所以其特解形式為BAxy ??~把此式代入原方程中，得xBAx 5)( ????比較等式兩邊 x 同冪的系數(shù)，得,5?A 0?B因此得到特解為 xy 5~ ?所求通解為 xececyyy xx 5*~ 21 ????? ?注意 教材中求特解時使用的是觀察法 （嚴(yán)格說來這不是方法）。33 36 第三形式 bxaeqyypy ?????? （即 bxaexf ?)( ） 【結(jié)論】 （推導(dǎo)省略） 特征方程 02 ??? qprr 情況 件條 特解形式1 不是特征方程的根b23 是特征方程的單根b 是特征方程的重根bbxAey ?~bxA xey ?~bxeAxy 2~ ?【 11 題 （ 2 ）】1432 ??????? xyyy 特解形式 BAxy ??~【補充例題 5 】142 ?????? xyy 特解形式 )(~ BAxxy ??【補充例題 6 】14 ???? xy 特解形式 )(~ 2 BAxxy ?? 下面把這三個例題的特解計算出來。
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