【正文】 明，只要把上述證明中的VKW與?(4交換，g與f交換，S與2交換即可.14*.假設(shè)函數(shù)/(y)對yeR連續(xù)，且有/(0) = 0，但當(dāng)y/0時有m + 0；試證：初值問題字=f{y), y(0) = 0有惟一解的充要a 0條件是：Va/0,aeR,都有=⑴.?證：必要性：若初值題有一解y = 0，若存在a/0，使0 fis) a f{s)初值問題的解，矛盾.充分性：若條件成立而惟一性不成立，則對于某個a/0，還有a J[S) 018f = c / oo，則由a。 = / ? + c, (y在0與a之間）確定的函數(shù)是解工=？ A + C滿足初始條件，即/ A = C / 00，與條件矛盾.ax習(xí) = A{t)x, X G Rn, t E I = [a, 6],的任一解 f = x(t),證明對??2〖()不等式t\x{t)\ |x(to)|exp(J A(s)ds) Vt to e I成立，其中H為卜b，A⑷為矩陣4的對稱部分Sit) = {A{t)+A{tf)/2的最大特征值.證：方程組= 兩邊左乘fT得至T至丨=X?A{t)x = x?S{t)x \{t)x?x即 I郎)|39。 A(t)|f(t)|,即a。(t)| exp — {J A(s)ds) 0,積分并由初始條件得所要證明的不等式.x39。 = f{t,x) , x{to) = Xo,的解與矢量Volterra積分方程x{t) = xo+ [ f{s,x{s)) dsJto的連續(xù)解的等價性.證：設(shè)至=⑷是Cauchy問題的解，即???? = /0，盧0))， （?(to) = fo，方程兩邊從to到t積分，得Jto即列t)是Volterra方程的解.反之，若⑴是Volterra方程的解，即Jtn190 if) = 0 (to) + [ f {3,0 (s)) ds(p{t) = X0+ [ f{s,(p{s)) ds則= 4且因連續(xù)，積分是t的可微函數(shù)，從而m可微，對兩邊求導(dǎo)得39。~? = f 變，.I + A+ + …+ + 2! n!的收斂性，其中/為n階單位方陣.證：利用|/| = 1，I i?r,則級數(shù)1 + 1*|2 + …+ 士11+ …J?l為題中級數(shù)的強(qiáng)級數(shù)，從而該級數(shù)收斂.：?39。 = A?+/⑷的形式，即求出?和/⑷.(d/i ” T、 1 de,+ CL3?2 — CIaJI = 0.dhJl, M = h,巧=?，記 f = (X1,X2,X3)，則方程組可一Gi Gi寫成f39。=似+/⑷的形式，其中40 0(23 ~?2：[1/Ride/dt? 0,0]了.，求出初值問題dxdt的第3次近似解(?3.0 4—1 0f (0)?3l2t?(注：精確解為:2 sin 2tcos2t，I為n階單位陣，我們稱A的n次代數(shù)方程det(A/…=0為方程組f = Ax的特征方程，試寫出n階常系數(shù)方程 + + anix39。 + a?x = 0 的特征方程.答:特征方程為A + aiA39。1A + I對于方程組：?39。 = A?，驗(yàn)證:20d?h丄d72丄廠 ,有解⑷cost—s39。mt和⑷s39。mtcost對VC1,C2，它滿足初始條件：?(0) = (Ci,C2)T的解為X (t) = ClU (t) + C2V (t).將下列二階方程化成二維一階方程組（其中a, /U, ，e均為參數(shù)）、u_ u 2,9 , dx(水星進(jìn)動的Einstein方程):(Van der Pol 方程):X\ u x\ ax39。da:、At.0, (Duffing 方程)dxx = 0, (Rayleigh 方程).dt解:1du dv—=V —de ‘ dea — u\ eu ；仏da:dl?ut3dtatyK?x), —X ；(Lienard 變換）dty —ijp39。x — ax=X n{l y?)y,首先利用Li6nard變換把二階擬線性方程工石+工=39?；申P(guān)于(工,y)的二維一階方程組，然后轉(zhuǎn)變成以y為自變量、以工為未知函數(shù)的Bernoulli方程，并求出這Bernoulli方程的通解.PX rp? ? ry解：作 Liamp。iard 變換：=/ x?dx = , y =——h F(x),得二維Jo 3 dt一階方程組a/= y譬，= 。r2，它是以y為自變量、以:c為未知函數(shù)的Bernoulli方程，進(jìn)而化為線性方程? 3y,求得通解= 3y \3ce?211) , ?9 U = CI SU，22c6IIuXX線性非齊次微分方程組的常數(shù)變易公式：對于線性非齊次微分方程組呈=A(t)x + fit),其中_是n階連續(xù)函數(shù)矩陣，m是n,且的基解矩陣為Wt)，則非齊次方程組的通解為郎）=m $i(s)/(s)ds)，其中 J為齊次方程組上2 f在i〉0上的基解陣，并求解非齊次方程組的初值問題t‘ 「0 1 I 「dx39。 = 2 2 x + t L」f⑴=I答：= (At)T‘$(i)的列矢量在[a,6]上線性無關(guān)，找出在什么條件下才存在齊次方程組= （其中4⑷在上連續(xù)）使得少⑷為它的基解陣？若這樣的方程組存在,是否惟一？答：當(dāng)且僅當(dāng)n階方陣$(i)的行列式在[a，amp。]上恒不為零且連續(xù)可微時，才存在齊次方程組斤= 使得0⑴為它的基解陣，而且這樣的方程組是惟一的(因?yàn)檫@時4⑴=《⑷①1⑷).⑴為在[a, 6]上連續(xù)的n階實(shí)方陣，$⑴為方程組f39。 = 乂i)f的基解陣，而⑷：⑴對于方程組守=A?⑷y的任一解每⑷必有(t) 0 {t)=常數(shù)：(ii) *⑴為方程組甘=—AT咖的基解陣的充要條件為存在非異的常方陣C，使得⑷=a證：⑴因?yàn)? + 研039。 = = — (f + = 0.所以⑴⑷=常數(shù).(ii)必要性：設(shè)屯⑴為方程組y? = ⑴f的基解陣，則屯⑴的任一列矢量德是方程組守=的解，而①⑷的任一列矢量朽+⑷是方程組玄‘=4⑷X的解，由⑴，於⑷⑷=C)是常數(shù)：即免T⑷$⑴=C = (4)是常方陣.充分性：設(shè)*⑴=C是非異的常方陣，由于基解陣$是非異的，則也非異，兩邊關(guān)于t求導(dǎo)得：屯‘了 = C($1)39。, (1)22再對恒等式少1少=I兩邊關(guān)于t求導(dǎo)得：（$1)、+ $1$39。，從而得($1)39。= —（2)代入⑴式得屯‘了 = C($i)39。 =即屯=—屯了人兩邊取轉(zhuǎn)置得屯39。=—屯，即屯是7 = A?{t)y的.，①⑴為方程組至39。=Ax的標(biāo)準(zhǔn)基解陣，試證：對乂口0163。11有$(力）$1(力0)=少（€ —力0).證：由于$(t)$i(to) = ?{t to)的兩邊都是基解陣，且在t = to，畢.⑷和fit)分別為在[a, 6]上連續(xù)的n階方陣和n維矢量，證明方程組定39。=A{t)x + fit), m ? 0,存在且最多存在n + 1個線性無關(guān)解.證：設(shè)m為對應(yīng)的齊次方程組的基解陣，柳是m的第j列，m為非齊次方程組的任一特解，則A⑷=m,石⑷=m +j = l,2,...,n是非齊次方程組的71+ 1個解，現(xiàn)證它們線性無，則存在rz+ 1個不全為零的常數(shù)c?39。，j = 0,1,2,... ,n,使得 ci?j{f} = 0，即 HJJoV⑷=SicVjW,由J = 0,1,2,...,n的線性無關(guān)性，可知SR/0，所以m是對應(yīng)的齊次方程組的解，與假設(shè)例t)為非齊次方程組的特解矛盾.再證非齊次方程組最多存在1個線性無關(guān)解，用反證法，若乂i)，j = 0,l,2,...,n+l是非齊次方程組的n +2個線性無關(guān)解，則可見側(cè)=石⑷Mt), j = 1, 2,…,n + 1是齊次方程組的n + 1個.。?程組解的疊加原寧：設(shè)fi (t)和f2(t)分別是方程組至39。=A{t) X+fi⑷和f = A{t) X + f2{t)的解，則fi {t) + X2⑴是方程組f 4⑷f + /1⑷+ /2⑷的解.證明：直接代入驗(yàn)證即得.39。=Ax + fit),其中0 2 ‘川cost .“p2t . 2t “⑴試驗(yàn)證少⑷=e。是= 的基解陣：(ii)試求方程組f + fit)滿足初始條件f (0) = 的(5驗(yàn)證略.(ii)解為：⑴=(藉一譽(yù)亡)嘉 cost — 藉 sint —— I cos t + I sin t23y4 = [ 2 1 1 f(t) = \ sine ■= A?+/(f)，?(0) = (1,ir的解列t)，其中A0 2’/⑷、2t答：解為：?(t)13t + 7, 一1 + t= Ax+fit),其中47 8,/⑷在[0,+⑴)上連續(xù)，試直接驗(yàn)證或利用常數(shù)變易公式證明(i剛—ett—e7e7*為= 的基解陣:(ii)若/⑴在[0,+⑴）上有界，則至39。=Ax + fix)的每一個解在[0, +oo)上肴界： — —(iii)若當(dāng)t — +00時，/⑴4 0，則f =似+/⑴的每一個解0(t)滿足：當(dāng)i 4 +00時，If⑷0.⑴直接驗(yàn)證可得：少‘⑷7t—et —49e7亡而：7 8—e—e7e7t7t7t—e七—49e7f所以屯,(t) = ⑷，即$⑷為= A?的基解陣：(ii)設(shè)1/⑷I = max(|/,|) M,由常數(shù)變易公式，解可表示為⑷=$ ⑴ 5+ ?{t s) f (s)則l?(?) I I少⑴ P+ / l?(?s)||/(5)|d163。7tIIV J/N I 丄、Vl ) I J \y) I — 5 ‘ J ■ M\0{t) I (7e7* + e—*)問 + /o*[7e7(*4 + e(*叫Mds=(7e+ e—” |c| + M |e7(*》+ e—G—叫 8|c| + 2M.(iii)設(shè)1/⑴I M,且任意給定的e 0,存在:r〉0，使得t T時，\f{t) I e,從而當(dāng)i〉2?時\(f{t) I [7e7* + el司 + /(f[7e7(*