【正文】 ? ? ? ? ?0||||,0 00 ??? ??? k39。 0 ,y ? 10 0 ,kk? ? ??? ? ? ＝ 139。 ?y、穩(wěn)定性和收斂性 所以 我們稱為 線性多步法的相容性條件。 1 0 1 0101 1 1 0( ) [ ( 1 ) ] ( )( 1 )n k k k kkkk k k kx h k khkk? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ??????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?即 k步法需要 k個出發(fā)值，而初值問題只提供了一個初值，在使用 k步法時尚需要其它方法作補充 k1個出發(fā)值， 今假定它們 是 ， 當(dāng) 這 k1個值都 應(yīng)收斂于共同的極限 y（ a） 即 在討論多步法收斂性時我們總假定（ ）成立 ? 定義四 ： 1,...2,1),( ??? klhy ll ? 0?h? ? 1,...2,1,)(limlim 00 ???? ?? klayhy lhlh ?? ?nknkknknknkknk fffhyayaya 011011 ...... ??? ??????? ????????多步法的收斂問題 的解 收斂于初值問題的解 y(x)。這里 ＝ x＝ a+nh. 定義五 ：稱多項式 為 k步法的特征多項式。 如果特征多項式的零點皆不大于 1，且等 于 1的零點是單重的，稱根條件成立。稱多項式 為第二特征多項式。 顯然根條件可以表示 定理三 ： k步法收斂的充要條件為： （ 1） 相容性條件成立 。 （ 2） 特征多項式的零點皆不大于 1， 且等于 1的零點是單重的 。 （ 稱 2為 ） 特征根條件 。 ny ? ?,bax?nx011 . . .)( ??????? ??? ?? kkkk011 ...)( ??????? ??? ?? kkkk)1()1(,0)1( 39。 ??? ??多步法的穩(wěn)定性 關(guān)于線性多步法成立以下定理： 定理四： 若函數(shù) f(x,y)對變量 y滿足 Lipschtiz 條件在與 h,x無關(guān)的常數(shù) L， 對區(qū)域 D= 任意兩點 （ x， y1） ,(x,y2)成立 k步法的相容性 、 收斂性 、 穩(wěn)定性有以下關(guān)系 對于常微分方程右端函數(shù) f(x,y)， 在相容性條件成立情況下 ， k步法的收斂性和穩(wěn)定性是等價的 。 事實上在相容性條件成立時 ， 收斂性和穩(wěn)定性的充要條件都是特征根條件成立 。 ? ?????????? ybxaD ,|12||)。2,()。1,(| yyLhyxhyx ??? ??多步法的絕對穩(wěn)定性和絕對穩(wěn)定域 將線性多步法的公式應(yīng)用到試驗方程 進行考察 。 這里假定 Re 0,即試驗方程本身是穩(wěn)定的 。 記 得 是常系數(shù)差分方程 ， 其特征方程為 記它的 k個特征根為 并設(shè)它們是互異的 。 顯然根與 有關(guān)，不妨記為 注意到當(dāng) 時 這時由特征方程得 由線性多步法的相容性條件得 是一個根。 不妨設(shè) , 差分方程的解為 其中系數(shù)由線性多步法的出發(fā)值確定 。 yy ??39。??hu ?inkiikiink yy ???? ?? ?00???0)()( ?? ?????kii ,...2,1, ???hu ? kii , . . .2,1),( ???0?h 0?? 0)( ???1?? 0,0)(1 ?? ???nkknnn dddy ??? ...2211 ???另一方面 ， y(0)=1的試驗方程的精確解為 ， 設(shè)多步法截斷誤差為 ， 由此可得 ， 我們稱 為主根 ， 其它根都為增根 。 定義五 ：線性多步法的絕對穩(wěn)定區(qū)域 對給定的 ， 如果特征方程的特征根 皆按模小于 1， 則線性多步法關(guān)于 u是絕對穩(wěn)定的 。 使得 成立的 構(gòu)成絕對穩(wěn)定區(qū)域 。 注 ：從誤差角度來看絕對穩(wěn)定區(qū)域的方法是一個理想的方法 。 這樣 ，絕對穩(wěn)定區(qū)域越大 ， 方法適用性越廣 ， 因而越優(yōu)越 。 xexy ??)()( 1?phO )( 11 ??? ph hOe ??1?u i?1|| ?i? ?hu ?167。 6 方程組和剛性方程 一階方程組 化高階方程為一階方程組 剛性方程組 一階方程組 前面我們研究了單個方程 y’=f的數(shù)值解法 ， 只要把 y和f理解為向量 ， 那么 ， 所提供的各種計算公式即可應(yīng)用到一階方程組的情形 。 考慮一階方程組的出值問題 若采用向量的記號 ， 記 ??????miyayyyyxfyiimii,...,2,1,)(),...,(02139。TmTmTmyxfyxfyxfyxfyyyyyyy)),() , . . .,(),((),()...,(),...,(y210,2022021??? 則常微分方程組的出值問題可以表示為 前幾節(jié)我們主要討論了常微分方程的出值問題的數(shù)值解法 。 只要將 y 和 f 改寫為向量 ， 那么前面提供的各種計算公式即可適用于一階常微分方程組的出值問題 。 RungeKutta方法 對于方程組 四級四階顯示 Runge Kutta公式 ?????039。)(),(yyayyxf?????039。)(),(yyayyxf1 1 2 3 412132431( 2 2 )6( , ) ( , )21 ( , )22 ( , )nnnnnnnnnny y k k k kk h f x yhk h f x y khk h f x y kk h f x h y k?? ? ? ? ??? ? ?? ? ?? ? ?若寫成分量形式就是 i=1,2,…,m 為了幫助理解這一公式的計算過程 ， 我們再考慮兩個方程的特殊情形： ),()21,2()21,2(),()22(61342312143211kyhxhfkkyhxhfkkyhxhfkyxhfkkkkkyynniinniinniinniiiiiiinin????????????????這時四階龍格－庫塔公式具有形式 ???????????000039。,)()(),(),(zxzyxyzyxgzzyxfy)22(6)22(6432114321LLLLhzzKKKKhyynnnn????????????其中 ?????????????????????????????????????????),()2,2,2()2,2,2(),(),()2,2,2()2,2,2(),(33422311213342231121hLzhKyhxgLLhzKhyhxgLLhzKhyhxgLzyxgLhLzhKyhxfKLhzKhyhxfKLhzKhyhxfKzyxfKnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn 這是一步法，利用節(jié)點 上的值 ， ，由上式順序計 算 ，然后代入 即可求得 節(jié)點上的 。 nx ny nz44332211 ,, LKLKLKLK?????????????????)22(6)22(6432114321LLLLhzzKKKKhyynnnn1?nx11 , ?? nn zy ? 關(guān)于高階微分方程的初值問題 ， 原則上總可以歸結(jié)為一階方程組來求解 ， 例如 ， 考察下列 m 階微分方程 ? 初始條件為 ? 只要引進新的變量 ? 即可將 m 階方程化為如下的一階方程組 ),...,( )1(39。)( ?? mm yyyxfy)1(00)1(039。039。00 )(,...,)(,)(?? ??? mm yxyyxyyxy)1(39。21 , . . . , ???? mm yyyyyy初始條件則相應(yīng)的化為 ??????????????), . . . ,(. . . . . . . . .2139。139。3239。239。1mmmmyyyxfyyyyyyy0)1(0039。02022 )(, . . . ,)(,)( ???? mm yxyyxyyxy 剛性方程組 ? 在求解方程組 ? 時 ， 經(jīng)常出現(xiàn)解的分量數(shù)量級差別很大的情形 ， 這給數(shù)值求解帶來很大困難 ， 這種問題稱為剛性問題 。 ? 若線性系統(tǒng) ， 其中 ， ? 中 A的特征值 滿足條件 0(j=1,… ,N), ? ?? ?39。00, ,y f x yy x y? ??? ???)()( tgtydtdy ???? ? ? ? NTNNTN RgggRyyy ???? , . . . , . . . , 11 .NNR ???i?且 則稱 系 統(tǒng)為剛性方程，稱 s為剛性比 ? ?? ? 1Rem i nRem a x11 ???????NjjjNjs??)()( tgtydtdy ???167。 7 習(xí)題與總結(jié) 1數(shù)值例題 2數(shù)值練習(xí) 3總結(jié) 數(shù)值例題 我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了很多數(shù)值算法 ， 他們的效果到底如何呢 ？ 下面我們來分析一道例題，看看那些方法，就這個問題，最能接近真實值 求初值問題 的數(shù)值解，取 h=