【正文】 ? ? ? ? ?0||||,0 00 ??? ??? k39。 0 ,y ? 10 0 ,kk? ? ??? ? ? ＝ 139。 ?y、穩(wěn)定性和收斂性 所以 我們稱為 線性多步法的相容性條件。 1 0 1 0101 1 1 0( ) [ ( 1 ) ] ( )( 1 )n k k k kkkk k k kx h k khkk? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ??????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?即 k步法需要 k個(gè)出發(fā)值，而初值問(wèn)題只提供了一個(gè)初值，在使用 k步法時(shí)尚需要其它方法作補(bǔ)充 k1個(gè)出發(fā)值， 今假定它們 是 ， 當(dāng) 這 k1個(gè)值都 應(yīng)收斂于共同的極限 y（ a） 即 在討論多步法收斂性時(shí)我們總假定（ ）成立 ? 定義四 ： 1,...2,1),( ??? klhy ll ? 0?h? ? 1,...2,1,)(limlim 00 ???? ?? klayhy lhlh ?? ?nknkknknknkknk fffhyayaya 011011 ...... ??? ??????? ????????多步法的收斂問(wèn)題 的解 收斂于初值問(wèn)題的解 y(x)。這里 ＝ x＝ a+nh. 定義五 ：稱多項(xiàng)式 為 k步法的特征多項(xiàng)式。 如果特征多項(xiàng)式的零點(diǎn)皆不大于 1，且等 于 1的零點(diǎn)是單重的，稱根條件成立。稱多項(xiàng)式 為第二特征多項(xiàng)式。 顯然根條件可以表示 定理三 ： k步法收斂的充要條件為： （ 1） 相容性條件成立 。 （ 2） 特征多項(xiàng)式的零點(diǎn)皆不大于 1， 且等于 1的零點(diǎn)是單重的 。 （ 稱 2為 ） 特征根條件 。 ny ? ?,bax?nx011 . . .)( ??????? ??? ?? kkkk011 ...)( ??????? ??? ?? kkkk)1()1(,0)1( 39。 ??? ??多步法的穩(wěn)定性 關(guān)于線性多步法成立以下定理： 定理四： 若函數(shù) f(x,y)對(duì)變量 y滿足 Lipschtiz 條件在與 h,x無(wú)關(guān)的常數(shù) L， 對(duì)區(qū)域 D= 任意兩點(diǎn) （ x， y1） ,(x,y2)成立 k步法的相容性 、 收斂性 、 穩(wěn)定性有以下關(guān)系 對(duì)于常微分方程右端函數(shù) f(x,y)， 在相容性條件成立情況下 ， k步法的收斂性和穩(wěn)定性是等價(jià)的 。 事實(shí)上在相容性條件成立時(shí) ， 收斂性和穩(wěn)定性的充要條件都是特征根條件成立 。 ? ?????????? ybxaD ,|12||)。2,()。1,(| yyLhyxhyx ??? ??多步法的絕對(duì)穩(wěn)定性和絕對(duì)穩(wěn)定域 將線性多步法的公式應(yīng)用到試驗(yàn)方程 進(jìn)行考察 。 這里假定 Re 0,即試驗(yàn)方程本身是穩(wěn)定的 。 記 得 是常系數(shù)差分方程 ， 其特征方程為 記它的 k個(gè)特征根為 并設(shè)它們是互異的 。 顯然根與 有關(guān)，不妨記為 注意到當(dāng) 時(shí) 這時(shí)由特征方程得 由線性多步法的相容性條件得 是一個(gè)根。 不妨設(shè) , 差分方程的解為 其中系數(shù)由線性多步法的出發(fā)值確定 。 yy ??39。??hu ?inkiikiink yy ???? ?? ?00???0)()( ?? ?????kii ,...2,1, ???hu ? kii , . . .2,1),( ???0?h 0?? 0)( ???1?? 0,0)(1 ?? ???nkknnn dddy ??? ...2211 ???另一方面 ， y(0)=1的試驗(yàn)方程的精確解為 ， 設(shè)多步法截?cái)嗾`差為 ， 由此可得 ， 我們稱 為主根 ， 其它根都為增根 。 定義五 ：線性多步法的絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域 對(duì)給定的 ， 如果特征方程的特征根 皆按模小于 1， 則線性多步法關(guān)于 u是絕對(duì)穩(wěn)定的 。 使得 成立的 構(gòu)成絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域 。 注 ：從誤差角度來(lái)看絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域的方法是一個(gè)理想的方法 。 這樣 ，絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域越大 ， 方法適用性越廣 ， 因而越優(yōu)越 。 xexy ??)()( 1?phO )( 11 ??? ph hOe ??1?u i?1|| ?i? ?hu ?167。 6 方程組和剛性方程 一階方程組 化高階方程為一階方程組 剛性方程組 一階方程組 前面我們研究了單個(gè)方程 y’=f的數(shù)值解法 ， 只要把 y和f理解為向量 ， 那么 ， 所提供的各種計(jì)算公式即可應(yīng)用到一階方程組的情形 。 考慮一階方程組的出值問(wèn)題 若采用向量的記號(hào) ， 記 ??????miyayyyyxfyiimii,...,2,1,)(),...,(02139。TmTmTmyxfyxfyxfyxfyyyyyyy)),() , . . .,(),((),()...,(),...,(y210,2022021??? 則常微分方程組的出值問(wèn)題可以表示為 前幾節(jié)我們主要討論了常微分方程的出值問(wèn)題的數(shù)值解法 。 只要將 y 和 f 改寫(xiě)為向量 ， 那么前面提供的各種計(jì)算公式即可適用于一階常微分方程組的出值問(wèn)題 。 RungeKutta方法 對(duì)于方程組 四級(jí)四階顯示 Runge Kutta公式 ?????039。)(),(yyayyxf?????039。)(),(yyayyxf1 1 2 3 412132431( 2 2 )6( , ) ( , )21 ( , )22 ( , )nnnnnnnnnny y k k k kk h f x yhk h f x y khk h f x y kk h f x h y k?? ? ? ? ??? ? ?? ? ?? ? ?若寫(xiě)成分量形式就是 i=1,2,…,m 為了幫助理解這一公式的計(jì)算過(guò)程 ， 我們?cè)倏紤]兩個(gè)方程的特殊情形： ),()21,2()21,2(),()22(61342312143211kyhxhfkkyhxhfkkyhxhfkyxhfkkkkkyynniinniinniinniiiiiiinin????????????????這時(shí)四階龍格－庫(kù)塔公式具有形式 ???????????000039。,)()(),(),(zxzyxyzyxgzzyxfy)22(6)22(6432114321LLLLhzzKKKKhyynnnn????????????其中 ?????????????????????????????????????????),()2,2,2()2,2,2(),(),()2,2,2()2,2,2(),(33422311213342231121hLzhKyhxgLLhzKhyhxgLLhzKhyhxgLzyxgLhLzhKyhxfKLhzKhyhxfKLhzKhyhxfKzyxfKnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn 這是一步法，利用節(jié)點(diǎn) 上的值 ， ，由上式順序計(jì) 算 ，然后代入 即可求得 節(jié)點(diǎn)上的 。 nx ny nz44332211 ,, LKLKLKLK?????????????????)22(6)22(6432114321LLLLhzzKKKKhyynnnn1?nx11 , ?? nn zy ? 關(guān)于高階微分方程的初值問(wèn)題 ， 原則上總可以歸結(jié)為一階方程組來(lái)求解 ， 例如 ， 考察下列 m 階微分方程 ? 初始條件為 ? 只要引進(jìn)新的變量 ? 即可將 m 階方程化為如下的一階方程組 ),...,( )1(39。)( ?? mm yyyxfy)1(00)1(039。039。00 )(,...,)(,)(?? ??? mm yxyyxyyxy)1(39。21 , . . . , ???? mm yyyyyy初始條件則相應(yīng)的化為 ??????????????), . . . ,(. . . . . . . . .2139。139。3239。239。1mmmmyyyxfyyyyyyy0)1(0039。02022 )(, . . . ,)(,)( ???? mm yxyyxyyxy 剛性方程組 ? 在求解方程組 ? 時(shí) ， 經(jīng)常出現(xiàn)解的分量數(shù)量級(jí)差別很大的情形 ， 這給數(shù)值求解帶來(lái)很大困難 ， 這種問(wèn)題稱為剛性問(wèn)題 。 ? 若線性系統(tǒng) ， 其中 ， ? 中 A的特征值 滿足條件 0(j=1,… ,N), ? ?? ?39。00, ,y f x yy x y? ??? ???)()( tgtydtdy ???? ? ? ? NTNNTN RgggRyyy ???? , . . . , . . . , 11 .NNR ???i?且 則稱 系 統(tǒng)為剛性方程，稱 s為剛性比 ? ?? ? 1Rem i nRem a x11 ???????NjjjNjs??)()( tgtydtdy ???167。 7 習(xí)題與總結(jié) 1數(shù)值例題 2數(shù)值練習(xí) 3總結(jié) 數(shù)值例題 我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了很多數(shù)值算法 ， 他們的效果到底如何呢 ？ 下面我們來(lái)分析一道例題，看看那些方法，就這個(gè)問(wèn)題，最能接近真實(shí)值 求初值問(wèn)題 的數(shù)值解，取 h=