常微分方程初步-資料下載頁
2025-09-25 15:15本頁面
【正文】 內(nèi)含鹽水10，今以3的速度從一管放入每升含鹽的鹽水，以2的速度從另一管抽出鹽水，設(shè)容器內(nèi)鹽水濃度始終是均勻的，求容器內(nèi)含鹽量隨時(shí)間變化的規(guī)律。解：設(shè)時(shí)刻容器內(nèi)含鹽量，鹽流入容器的速度=鹽流出容器的速度=容器中含鹽量變化率=鹽流入容器的速度鹽流出容器的速度=即定義描述一階微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式如（其中均為已知的連續(xù)函數(shù)）當(dāng)時(shí)，稱為一階線性齊次微分方程。當(dāng)時(shí)，稱為一階線性非齊次微分方程。（一）一階線性齊次微分方程的解法對(duì)于變形為分離變量兩邊積分得即 （）（二）一階線性非齊次微分方程的解法一階線性非齊次微分方程可以用“常數(shù)變易法”求。將通解（）的任意常數(shù)C換成函數(shù)，即令兩邊求導(dǎo)將代入，得兩邊積分將代入得通解 （）回應(yīng)任務(wù)引例1的求解解：（1）微分方程：則得到（2）求通解由公式得（3）求特解將代入通解，得故特解引例2的求解解：（1）建立微分方程其中（2）求通解將代入（）（3）求特解將得得特解案例1（曲線方程）：已知一曲線通過原點(diǎn)，并且它在任意點(diǎn)處切線的斜率等于，求此曲線方程。案例2（落體問題）：在離地面高度為處，以初速垂直向上拋一物體，考慮空氣阻力與速度成正比，求此曲線運(yùn)動(dòng)規(guī)律。案例3（蒸發(fā)問題）：空氣中雨點(diǎn)均勻蒸發(fā)，設(shè)蒸發(fā)速度為，空氣阻力與雨速成正比，求雨點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度與時(shí)間關(guān)系（設(shè)雨點(diǎn)初始質(zhì)量為，初始速度為零）第四節(jié) 二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法引例：設(shè)一彈簧放于油中，運(yùn)動(dòng)滿足以下微分方程求此彈簧在任意時(shí)刻的位移定義描述案例：質(zhì)量為的物體懸掛與彈簧下，空氣阻力與速度成正比，如果其運(yùn)動(dòng)滿足方程求其運(yùn)動(dòng)規(guī)律本章小節(jié)復(fù)習(xí)題選擇
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