常微分方程試題庫(kù)-資料下載頁(yè)
2025-03-25 01:12本頁(yè)面
【正文】 確定出 ， 原方程的通解為 4．求方程的通解．解 對(duì)應(yīng)齊次方程的特征方程為，特征根為， 齊次方程的通解為 因?yàn)槭翘卣鞲Ｋ?，設(shè)非齊次方程的特解為 代入原方程，比較系數(shù)確定出 ， 原方程的通解為 五、證明題1．在方程中，已知，在上連續(xù)，且．求證：對(duì)任意和，滿(mǎn)足初值條件的解的存在區(qū)間必為． 證明:由已知條件，該方程在整個(gè) 平面上滿(mǎn)足解的存在唯一及解的延展定理?xiàng)l件． 顯然 是方程的兩個(gè)常數(shù)解． 任取初值，其中,．記過(guò)該點(diǎn)的解為，由上面分析可知，一方面可以向平面無(wú)窮遠(yuǎn)處無(wú)限延展；另一方面又上方不能穿過(guò)，下方不能穿過(guò)，否則與惟一性矛盾．故該解的存在區(qū)間必為．2．設(shè)和是方程的任意兩個(gè)解，求證：它們的朗斯基行列式，其中為常數(shù)．證明:如果和是二階線(xiàn)性齊次方程 的解，那么由劉維爾公式有 現(xiàn)在，故有 3．在方程中，已知，在上連續(xù)．求證：該方程的任一非零解在平面上不能與x軸相切．證明:由已知條件可知，該方程滿(mǎn)足解的存在惟一及解的延展定理?xiàng)l件，且任一解的存在區(qū)間都是． 顯然，該方程有零解． 假設(shè)該方程的任一非零解在x軸上某點(diǎn)處與x軸相切，即有= 0，那么由解的惟一性及該方程有零解可知，這是因?yàn)榱憬庖矟M(mǎn)足初值條件= 0，于是由解的惟一性，有 ．這與是非零解矛盾． 4．在方程中，在上連續(xù)，求證：若恒不為零，則該方程的任一基本解組的朗斯基行列式是上的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)．證明: 設(shè)，是方程的基本解組，則對(duì)任意，它們朗斯基行列式在上有定義，且．又由劉維爾公式 ， 由于，于是對(duì)一切，有 或 故 是上的嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)． 5．試證:若已知黎卡提方程的一個(gè)特解,則可用初等積分法求它的通解 證明: 設(shè)黎卡提方程的一個(gè)特解為 令 , 又 由假設(shè) 得 此方程是一個(gè)的伯努利方程,可用初等積分法求解6．試用一階微分方程解的存在唯一性定理證明:一階線(xiàn)性方程 , 當(dāng) , 在上連續(xù)時(shí),其解存在唯一證明: 令 : , , 在上連續(xù), 則 顯然在上連續(xù) ,因?yàn)? 為上的連續(xù)函數(shù) ,故在上也連續(xù)且存在最大植 , 記為 即 , , =因此 一階線(xiàn)性方程當(dāng) , 在上連續(xù)時(shí),其解存在唯一16
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