【正文】 ( 0) 0 ,( 0) 1.xy yyy? ?? ?? ? ?????? ? ???所求方程為： xoy( , )P x y(0,1)( 1,0)?Q003 4 005xxy y yyy???? ?? ? ? ????? ? ???的特解.例 525 求方程 解 特征方程 2123 4 0 1 4, , .r r r? ? ? ? ? ?原方程的通解 4141 4,39。,xxxxy C e D ey C e D e???? ? ? ?代入初始條件，解得 C = 1, D = 1. 于是原方程的特解為 4 .xxy e e???例 526 求方程 76 siny y y x?? ?? ? ? 的通解.解 不難求出特征根為 1， 6，對應(yīng)的齊次方程的 6 ,xxy Ce D e??可以判斷出其特解為 代入初始條件解得 57,7 4 7 4AB??通解為 * si n c os ,y A x B x??*( ) c os sin ,y A x B x? ?? *( ) si n c os .y A x B x?? ? ? ?5 si n 7 c o s7 4 7 4xxyy? ? ? ?6 5 s in 7 c o s .7 4 7 4xx xxC e D e? ? ? ?例 527 解方程 224 4 8 si n 2 .xy y y x e x?? ?? ? ? ? ?解 不難求出方程的特征根為 2， 2. 方程 24 4 8y y y x?? ?? ? ?的特解 。2*1 CBxAxy ???方程 244 xy y y e?? ?? ? ? 的特解 。22*2 xeDxy ?方程 4 4 2si ny y y x?? ?? ? ?的特解 .2s i n2c o s*3 xFxEy ??原方程的特解 *3*2*1* yyyy ???代入初始條件，并解方程組，求得 112 , 4 , 3 , , , 0 .28A B C D E F? ? ? ? ? ?22*2 c o s 22 4 3 。28xx e xy x x? ? ? ? ? ?2*12( ) .xy e C C x y? ? ?原方程的通解為 解 2 1 2 2 2( ) ( ) ( ) , , ,y y u x x u x y y y? ? ???? 則把 代入原方程，20( ) ( ) .u P u P Q u? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?由于 ()yx?? 是原方程的解，故 0 ,PQ? ? ??? ?? ? ?20( ) .u P u? ? ??? ? ?? ? ? ?例 528 設(shè) y1 = φ(x)是方程 0( ) ( )y P x y Q x y?? ?? ? ?21 ( ) ,y y u x?的一個解 ,若 求出此方程的另一個與 y1線性 無關(guān)的解 ,并寫出所給方程的通解 . 令 原方程的通解為 ).( 221 dxeCCyP dx???????2( ) ,du P d xu??? ? ????12 ,P d xCeu??? ??122 ,Pd xeu C C??????121 , 0 ,CC??21 2 ()P d xey d x y x?????? ? ?? （與 線性無關(guān)），例 529 設(shè) y (x) 是 x的連續(xù)可微函數(shù) ,且滿足 ).(,)()1()( 00 xydtttyxdttyx xx 求?? ??解 兩邊對 x 求導(dǎo) , 得到 ,)()()1()()( 00 ?? ???? xx dtttyxxyxdttyxxy整理即 ,)()()( 020 ?? ?? xx dtttyxyxdtty再求導(dǎo)，并整理得到微分方程 ,31 2 dxx xydy ??解之得 ,lnln31ln Cxxy ????即 13 ,xCey x??130,0l im ( ) 0 , .0 , 0xxCexxy x yx??????? ? ? ?? ??例 530 若可微函數(shù) f (x) 滿足方程 31() ( ) 1 , ( ) .()x ft d t f x f xt f t t ???? 求 的無積分的表達(dá)式解 由所給方程可知 f (1)=1,兩邊對 x 求導(dǎo) , 得 3() ( ) ,()fx fxx f x x ???記 y =f (x), 則上述方程化為 ,1 3xxydydx ??這是關(guān)于 n = 3 的伯努力方程 . 則 ],)2([ 2231 Cdyeex ydyydy ????? ???整理即 222 ( ) .( ) 3C f xxfx? ??2325 ( ) 2 ( ) 5( 1 ) 1 , , .3 3 3f x f xfCx? ? ? ? ? ? 例 531 設(shè)函數(shù) f (x) 滿足 xf ?(x) – 3 xf (x) = – 6x2求由曲線 y=f (x), x=1與 x軸所圍成的平面圖形繞 x軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體的體積最小 . 解 原方程可化為 旋轉(zhuǎn)體的體積為 3( ) ( ) 6 ,f x f x xx? ? ? ?33( ) [ ( 6 ) ]d x d xxxy f x e x e d x C???? ? ? ?? x x??令 .7,0)(39。 ???? CCV又 ,072)( ?? ?CV所以 V(C )在此唯一駐點處取最小值，所求函數(shù)為 .76)( 32 xxxf ??1 20( ) ( )V C y x d x?? ?1 320 ( 6 )Cx x d x????2 36( 2 ) .75C C?? ? ?例 532 若 f (x) 可微 , 00( ) ,f ? ?).(),()()( xfxfeyfeyxf yx 求???解 令 y = 0, 則 .0)0(),()0()( ???? fxffexf x對任何 x, y, 有 0( ) ( )( ) l imhf x h f xfxh???? ?0( ) ( ) ( )l im xhhe f h e f x f xh????00( ) ( 0 ) 1l im ( ) l im hxhhf h f ee f xhh????? ? ? ?( 0) ( )xe f f x???2 ( ) .xe f x??( ) ( ) 2 ,xf x f x e? ??解方程 得通解 ,2)( xx Cexexf ??代入條件 f (0) = 0 , 則 C = 0 , 所以 .2)( xxexf ?例 533 若 xxxxxxx eexeyexeyexey ?? ??????? 23221 ,解 由線性方程的理論可知 xx eeyyY ????? 2211 是對應(yīng)齊次方程的解， xeyyY ???? 312也是對應(yīng)齊次方程的解， 所以 xeYYY 2313 ???也是對應(yīng)齊次方程的解， 于是 xx ee ?,2 都是對應(yīng)的齊次方程的解， 是某二階非齊次線性方程的三個解，求這個微分方程 . 不難寫出這個齊次方程為（因為特征根是 1和 2） 20 .y y y?? ?? ? ?設(shè)所求的非齊次方程為 2 ( ) ,y y y f x?? ?? ? ?代入 21 ,xxy xe e??則 2( ) ,xxf x e xe??所以所求線性非齊次方程為 2y y y?? ?? ? ? 2 .xxe xe?).(,)()(s i n)( 0 xfdttftxxxf x 求連續(xù)函數(shù) ? ???例 534 解 將 0( ) s in ( ) ( )xf x x x t f t d t? ? ??改寫為 00( ) s in ( ) ( )xxf x x x f t d t t f t d t? ? ???對 x 求導(dǎo) , 得 0( ) c o s ( )xf x x f t d t? ?? ?再對 x 求導(dǎo) f x f x x?? ? ? ?( ) ( ) si n顯然 0 0 0 1( ) , ( ) ,ff ???不難解得這個非齊次線性方程的通解為 12( ) s in c o s c o s .f x C x D x x x? ? ?所以 1122( ) c o s s in c o s s in .f x C x D x x x x? ? ? ? ?0 0 0 1( ) , ( ) ,ff ???代入條件 則 C= 189。 , D=0 . 所以 1122( ) si n c o s .f x x x x?? 例 535 設(shè)函數(shù) f (x) 在 [1， +∞]上連續(xù)，直線 x= 1, x=t (t 1) 與 x 軸所年圍成的平面圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體的體積為 2 21239[ ( ) ( ) ] , ( ) , ( ) .V t f t f f y f x?? ? ? ?求解 一方面，由已知得 2 113( ) [ ( ) ( ) ] ( )V t t f t f???另一方面， 21 2( ) ( ) ( )tV t f x d x?? ?于是由（ 1）和（ 2）得到 22131( ) ( ) ( ) .t f x d x t f t f???再求導(dǎo)，得 223 ( ) 2 ( ) ( ) ,f t tf t t f t???令 ,yu x?則 31( ) .dux u udx ??當(dāng) u ≠ 0 , u ≠ 1 時，解得 3311 ,.C x y x C x yu? ? ? ?即2 23 ( ) 2 , ( 2 ) .9d y y y yd x x x? ? ? ? ?即 再代入初始條件確定常數(shù) C = 1 , 于是所求的特解為 3 ,y x x y? ? ?即 31 .xyx? ?