【正文】 ???? CCV又 ,072)( ?? ?CV所以 V(C )在此唯一駐點(diǎn)處取最小值，所求函數(shù)為 .76)( 32 xxxf ??1 20( ) ( )V C y x d x?? ?1 320 ( 6 )Cx x d x????2 36( 2 ) .75C C?? ? ?例 532 若 f (x) 可微 , 00( ) ,f ? ?).(),()()( xfxfeyfeyxf yx 求???解 令 y = 0, 則 .0)0(),()0()( ???? fxffexf x對(duì)任何 x, y, 有 0( ) ( )( ) l imhf x h f xfxh???? ?0( ) ( ) ( )l im xhhe f h e f x f xh????00( ) ( 0 ) 1l im ( ) l im hxhhf h f ee f xhh????? ? ? ?( 0) ( )xe f f x???2 ( ) .xe f x??( ) ( ) 2 ,xf x f x e? ??解方程 得通解 ,2)( xx Cexexf ??代入條件 f (0) = 0 , 則 C = 0 , 所以 .2)( xxexf ?例 533 若 xxxxxxx eexeyexeyexey ?? ??????? 23221 ,解 由線(xiàn)性方程的理論可知 xx eeyyY ????? 2211 是對(duì)應(yīng)齊次方程的解， xeyyY ???? 312也是對(duì)應(yīng)齊次方程的解， 所以 xeYYY 2313 ???也是對(duì)應(yīng)齊次方程的解， 于是 xx ee ?,2 都是對(duì)應(yīng)的齊次方程的解， 是某二階非齊次線(xiàn)性方程的三個(gè)解，求這個(gè)微分方程 . 不難寫(xiě)出這個(gè)齊次方程為（因?yàn)樘卣鞲?1和 2） 20 .y y y?? ?? ? ?設(shè)所求的非齊次方程為 2 ( ) ,y y y f x?? ?? ? ?代入 21 ,xxy xe e??則 2( ) ,xxf x e xe??所以所求線(xiàn)性非齊次方程為 2y y y?? ?? ? ? 2 .xxe xe?).(,)()(s i n)( 0 xfdttftxxxf x 求連續(xù)函數(shù) ? ???例 534 解 將 0( ) s in ( ) ( )xf x x x t f t d t? ? ??改寫(xiě)為 00( ) s in ( ) ( )xxf x x x f t d t t f t d t? ? ???對(duì) x 求導(dǎo) , 得 0( ) c o s ( )xf x x f t d t? ?? ?再對(duì) x 求導(dǎo) f x f x x?? ? ? ?( ) ( ) si n顯然 0 0 0 1( ) , ( ) ,ff ???不難解得這個(gè)非齊次線(xiàn)性方程的通解為 12( ) s in c o s c o s .f x C x D x x x? ? ?所以 1122( ) c o s s in c o s s in .f x C x D x x x x? ? ? ? ?0 0 0 1( ) , ( ) ,ff ???代入條件 則 C= 189。22*2 xeDxy ?方程 4 4 2si ny y y x?? ?? ? ?的特解 .2s i n2c o s*3 xFxEy ??原方程的特解 *3*2*1* yyyy ???代入初始條件，并解方程組，求得 112 , 4 , 3 , , , 0 .28A B C D E F? ? ? ? ? ?22*2 c o s 22 4 3 。,xxxxy C e D ey C e D e???? ? ? ?代入初始條件，解得 C = 1, D = 1. 于是原方程的特解為 4 .xxy e e???例 526 求方程 76 siny y y x?? ?? ? ? 的通解.解 不難求出特征根為 1， 6，對(duì)應(yīng)的齊次方程的 6 ,xxy Ce D e??可以判斷出其特解為 代入初始條件解得 57,7 4 7 4AB??通解為 * si n c os ,y A x B x??*( ) c os sin ,y A x B x? ?? *( ) si n c os .y A x B x?? ? ? ?5 si n 7 c o s7 4 7 4xxyy? ? ? ?6 5 s in 7 c o s .7 4 7 4xx xxC e D e? ? ? ?例 527 解方程 224 4 8 si n 2 .xy y y x e x?? ?? ? ? ? ?解 不難求出方程的特征根為 2， 2. 方程 24 4 8y y y x?? ?? ? ?的特解 。( 1 ) 1 2 ,yC? ? ? ?，2233 l n2,22xxy x x C? ? ? ?31( 1 ) 0 , ,2yC? ? ?223 l n 1 2 2x x xyx? ? ? ?例 518 解方程 212( ) .x y xy?? ???解 設(shè) ,yp??221 ,d p x d xpx? ?積分得 再積分得原方程的通解為 .3 2311 CxCxCy ???則原方程可化為 21 (1 ) ,p C x??21 ( 1 ) ,y C x? ??即例 519 解方程 22 l n .y y y y y?? ???解 由于 22 ( ) ( l n ) ,y y y y yyy?? ? ?? ? ????設(shè) ,ln yz ? 則 ,zz?? ?其特征根是 1， 1，所以 12 ,xxz C e C e ???12l n .xxy C e C e ???即23( 4 ) ( ) 0xx y e x?? ?? ? ?例 520 求方程 解 231 1 1, () yx x yy y y y ???? ?? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ?代入原方程得 24,xy y e?? ??解這個(gè)微分方程，得其通解為 .41 222 xxx xeDeCey ??? ?的通解 . 22( ) ( ) 1yy??? ????( 0) 0 , 0) 1 , ( 0) 0y y y? ??? ? ?例 521 求微分方程 適合條件 的特解 . 解 設(shè) ,yp?? ? 21,pp? ? ? ?則原方程化為 解之 1ar c si n .p x C? ? ?由于 積分兩次有 .s i n32 CxCxy ??? ?( 0) 0 , ( 0) 1 ,yy ???1( 0) ( 0) 0 , 0 ,p y C??? ? ? ?sin .yx??? ? ?2 s in 。當(dāng) u = 1, t = x. 01( ) ( ) 1 ,2x dtf t f xx ???0()( ) ,2x x f xf t d t x???12( ) ( ) ,f x f xxx? ? ? ?2( ) [ ]d x d xxxf x e e d x Cx????? ? ????例 515 設(shè) f ( x) 在 [0， +∞ ）上連續(xù)，且 00lim ( ) , ,x f x b a? ? ? ? ? ?又( ) ( ) , l im ( ) .xd y ba y f x y x y xd x a? ? ?? ? ?的一切解 均有解 方程 ()dy ay f xdx ??的解為 證明方程 0[ ( ) ] ,xa x a ty e C f t e d t??? ?0()l im ( ) l imx ataxxxC f t e d tyxe? ? ? ? ? ???? ?()l im .axaxxf x e ba e a? ? ??? 例 516 若曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn) N(1,1), 曲線(xiàn)上任意一點(diǎn) P(x,y)處 的切線(xiàn)與 Oy 軸交于 Q, 經(jīng) PQ為直徑做的圓過(guò) A(1,0) ，求此曲線(xiàn)方程 . 解 過(guò)點(diǎn) P(x,y)的切線(xiàn)方程為 ( ) .Y y y X x?? ? ?),2 39。( ) ] 0xy x y f x y dx f x x y dy? ? ? ? ? ，221222s in c o sy x y x x y x y C? ? ? ? ?答案：是全微分方程，求 f ( x ) ， 并解此全微分方程 . 且方程 (五 )、證明題（ 5分） 12( ) , ( ) ( ) ( )y x y x y P x y Q x? ??設(shè) 是 的兩個(gè)不同的解，121( ) ( ) .( ) ( )y x y x Cy x y x? ??試證明方程的任何解 y (x ),都有下列等式成立： 這里 C是任意常數(shù) . 例 51 求微分方程 23dy x y x ydx ?? 的通解.23dy xdxyy ??x dxyy dy ?? ?? 232111 332( ln ln )y y x C? ? ? ?13 ,CCe?? 則通解為記 兩邊積分得 解 分離變量得 2323 .xyCey ??2 2 21 2 0()x y dx x dy? ? ? ，2 1 2 0( ) ( )uu d x x d u d xx? ? ? ?212()d u d xux? ? ?? ，112ln ,x Cu? ? ? ?? 即121ln x Cxy?? ? ，這就是方程的通解，1 121ln .xxy? ? ??代入 x = 1, y = 2， 得 C= 1,于是積分曲線(xiàn)是 兩邊積分得 解 設(shè) u= xy, 則 du = yd x + xd y,于是 且過(guò)點(diǎn)（ 1， 2）的積分曲線(xiàn) . 例 52 求滿(mǎn)足方程 例 53 求微分方程 lndy yxydx x?yux? ，d y d uuxd x d x??則，1( ln )d x d ux u u? ? ，11,.C x C xu e y x e??? ? ?積分得 即原方程化為 解 設(shè) 的通解 . l n l n l