【正文】 00, ,y f x yy x y? ??? ???)()( tgtydtdy ???? ? ? ? NTNNTN RgggRyyy ???? , . . . , . . . , 11 .NNR ???i?且 則稱 系 統(tǒng)為剛性方程，稱 s為剛性比 ? ?? ? 1Rem i nRem a x11 ???????NjjjNjs??)()( tgtydtdy ???167。02022 )(, . . . ,)(,)( ???? mm yxyyxyyxy 剛性方程組 ? 在求解方程組 ? 時 ， 經(jīng)常出現(xiàn)解的分量數(shù)量級差別很大的情形 ， 這給數(shù)值求解帶來很大困難 ， 這種問題稱為剛性問題 。239。139。00 )(,...,)(,)(?? ??? mm yxyyxyyxy)1(39。)( ?? mm yyyxfy)1(00)1(039。,)()(),(),(zxzyxyzyxgzzyxfy)22(6)22(6432114321LLLLhzzKKKKhyynnnn????????????其中 ?????????????????????????????????????????),()2,2,2()2,2,2(),(),()2,2,2()2,2,2(),(33422311213342231121hLzhKyhxgLLhzKhyhxgLLhzKhyhxgLzyxgLhLzhKyhxfKLhzKhyhxfKLhzKhyhxfKzyxfKnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn 這是一步法，利用節(jié)點 上的值 ， ，由上式順序計 算 ，然后代入 即可求得 節(jié)點上的 。)(),(yyayyxf?????039。 只要將 y 和 f 改寫為向量 ， 那么前面提供的各種計算公式即可適用于一階常微分方程組的出值問題 。 考慮一階方程組的出值問題 若采用向量的記號 ， 記 ??????miyayyyyxfyiimii,...,2,1,)(),...,(02139。 xexy ??)()( 1?phO )( 11 ??? ph hOe ??1?u i?1|| ?i? ?hu ?167。 注 ：從誤差角度來看絕對穩(wěn)定區(qū)域的方法是一個理想的方法 。 定義五 ：線性多步法的絕對穩(wěn)定區(qū)域 對給定的 ， 如果特征方程的特征根 皆按模小于 1， 則線性多步法關(guān)于 u是絕對穩(wěn)定的 。 yy ??39。 顯然根與 有關(guān)，不妨記為 注意到當(dāng) 時 這時由特征方程得 由線性多步法的相容性條件得 是一個根。 這里假定 Re 0,即試驗方程本身是穩(wěn)定的 。2,()。 事實上在相容性條件成立時 ， 收斂性和穩(wěn)定性的充要條件都是特征根條件成立 。 ny ? ?,bax?nx011 . . .)( ??????? ??? ?? kkkk011 ...)( ??????? ??? ?? kkkk)1()1(,0)1( 39。 （ 2） 特征多項式的零點皆不大于 1， 且等于 1的零點是單重的 。稱多項式 為第二特征多項式。這里 ＝ x＝ a+nh. 定義五 ：稱多項式 為 k步法的特征多項式。 ?y、穩(wěn)定性和收斂性 所以 我們稱為 線性多步法的相容性條件。令 y ＝ 1，所以令 y=x得 1 0 1 11 1 0 1 1 ( )n n n r n rn n n r n ry y y yh f f f f? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?0||||,0 00 ??? ??? k39。 多步法的相容性條件 k步法的一般形式為 其中 由對單步法的討論可知 ,當(dāng) 時 ,方法階數(shù)至少為 1。 理論分析得出它們的絕對穩(wěn)定區(qū)域， 修正 Hamming法 ： 。 使計算精度至少提高一階 ， 同時得到兩個修正公式 ， 將它們和上兩式構(gòu)成了如下 修正 Adams公式 ： 預(yù)測 ： 修正 ： 校正 : 1 1 2 3( 5 5 5 9 3 7 9 )24pn n n n n nhy y f f f f? ? ? ?? ? ? ? ?11251 ()270p m p c pn n n ny y y y??? ? ?1 1 1 1 2( 9 ( , ) 1 9 5 )24c p mn n n n n n nhy y f x y f f f? ? ? ? ?? ? ? ? ?修正： 同理，在計算時，調(diào)節(jié)計算步長 使 , 由同階單步法提供初值 , ， ， 。 31 ?? ? npn yy )22(34 21 ?? ??? nnn fffh)(1 2 11 1 211 pnpnpmn yyyy ??? ??)2),((83)9(81 11121 ????? ????? nnpmnnnn ffyxfhyyy)(121 9 1111 pnn yyyy ???? ???0y 1y 2y 3y 4ypc yy33 ? 將 4步 4階顯式 Adams公式作為預(yù)測公式和 3步 4階式 Adams公式作為校正公式 ， 構(gòu)成 Adams預(yù)測 校正公式 。 1 1 11 2 1 ( ) 9 1 1 2 0MHn n ny x y y? ? ?? ? ? ? ?1 1 1 1112( ) ( )121M H Mn n n ny x y y y? ? ? ?? ? ?1 1 1 19( ) ( )121H H Mn n n ny x y y y? ? ? ?? ? ? ?1Mny? 1Hny?119 ()121HMnnyy ???? ? ? 又可得到 Miline公式 和 Hamming公式 的修正公式 ， 它們分別是 從而構(gòu)成如下的修正 Hamming預(yù)測 校正公式 ，簡稱修正 Hamming公式： 1 1 1 1112 ()121M m M H Mn n n ny y y y? ? ? ?? ? ?1 1 1 19 ()121H m H H Mn n n ny y y y? ? ? ?? ? ?預(yù)測： 修正： 校正： 修正： 在應(yīng)用這套公式時 ， 先由同階單步法提供初值 ， ， ， 。忽略誤差項，上式可改寫為 11611 1 44 0 4 5( ) ( )1 1 44 0 4 5MHnnnyyy x O h???????1 1 11 1 4 1 1 4( ) ( ) 04 0 4 5 4 0 4 5MHn n ny x y y? ? ?? ? ? ? ?1 1 19 1 1 2 9 1 1 2( ) ( ) 03 6 0 3 6 0 3 6 0 3 6 0MHn n ny x y y? ? ?? ? ? ? ? 由于 和是 在計算過程中獲得的數(shù)據(jù)，稱為Miline 公式 和 Hamming公式 的事后誤差估計式。 對于線性多步方法常用的預(yù)測 校正公式有 Miline Hamming方法和 4階 Adams顯隱式 預(yù)測 校正公式 將 Miline 公式 和 Hamming公式 結(jié)合 ， 構(gòu)成預(yù)測 校正公式 Miline公式 和 Hamming公式 的局部截斷誤差分別為 1 3 1 24 ( 2 2 )3pn n n n nhy y f f f? ? ? ?? ? ? ?1 2 1 1 113( 9 ) ( ( , ) 2 )88pn n n n n n nhy y y f x y f f? ? ? ? ?? ? ? ? ?5 ( 5 ) 61 1 114( ) ( ) ( )45MMn n n nT y x y h y x O h? ? ?? ? ? ?5 ( 5 ) 61 1 11( ) ( ) ( )40HHn n n nT y x y h y x O h? ? ?? ? ? ? ?修正 MilineHamming公式 利用外推原理，即加上后消去局部截斷誤差的主項。 預(yù)測 校正技術(shù)即保證了計算精度 ， 又 使隱式計算顯式化 ， 克服了隱式公式要反復(fù)迭 代的困難 。如隱式梯形公式，每往前推進(jìn)一步，不必進(jìn)行多次迭代，而是采用一階顯式 Euler公式預(yù)測，二階隱式梯形公式校正一次，構(gòu)成顯式改進(jìn) Euler公式，能達(dá)到與梯形公式同階的精度，即二階精度。 求解后就構(gòu)成Simpson隱式公式和其余項 。 求解后就構(gòu)成著名的3步 4階隱式 Hamming公式和它的余項 。 ?構(gòu)成著名的 Miline 4步 4階顯式公式和它的余項 。 ?同 理 得 到 5 個 待 定 參 數(shù) 方 程 組 。 Adams顯式公式 1pc?1n n ny y hf? ?? 122 1 1( 3 )2n n n nhy y f f? ? ?? ? ?5123 2 2 1( 2 3 1 6 5 )12n n n n nhy y f f f? ? ? ?? ? ? ?384 3 3 2 1( 5 5 5 9 3 7 9 )24n n n n n nhy y f f f f? ? ? ? ?? ? ? ? ?251720k p 公式 1 1 2 2 3 3 4 4 Adams隱式公式 1pc?11 ()2n n n nhy y f f??? ? ?112?2 1 2 1( 5 8 )12n n n n nhy y f f f? ? ? ?? ? ? ?124?3 2 3 2 1( 9 1 9 5 )24n n n n n nhy y f f f f? ? ? ? ?? ? ? ? ?19720?4 3 4 3 2 1( 2 5 1 6 4 6 2 6 4 1 0 6 1 9 )720n n n n n n nhy y f f f f f? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?3160? k p 公式 1 2 2 3 3 4 4 5 注： 在這些方法中 ， 4階的 Adams預(yù)測校正方法具有方法 簡潔 、 使用方便 、 易排序 、 高精度等優(yōu)點 。 1 1 1 2( 9 1 9 5 )24n n