數(shù)值分析--第9章常微分方程數(shù)值解(參考版)
2024-09-03 01:54本頁面
【正文】 設有階常微分方程初值問題 (969)引入新變量，問題(969)就化為一階微分方程組初值問題 (970)例7 用四階RK方法求解初值問題 (971)解 引入新變量，問題(971)化為如下形式按式(969)，(970)求解。設有初值問題 (966)它的經(jīng)典四階RK公式為 (967) (968)計算過程為從節(jié)點處的近似解出發(fā)，按式(968)順序計算，將所得結果代人式(967)，即得處的近似解。例如，對問題(961)，Euler方法的計算公式為 (962)其中，其分量形式為改進Euler法的計算公式為 (963)經(jīng)典四階RK公式為 (964)其分量形式為 (965)一般地，用于問題(961)的單步法公式為其中是元的維向量函數(shù)。5 一階微分方程組與高價微分方程的數(shù)值解法 一階微分方程組的數(shù)值解法設有一階微分方程組的初值問題 (960)若記，則初值問題(960)可寫成如下向量形式 (961)如果向量函數(shù)在區(qū)域：連續(xù)，且關于滿足Lipschitz條件，即存在，使得對，都有那么問題(961)在是存在唯一解。(1) 輸入(2) 置(3) 計算輸出(4) 若，置，返回3；否則，置，轉6。完全類似地，可以導出多環(huán)節(jié)的MilneHamming預測校正公式（也稱為Hamming方法） (959)上述預測校正公式的優(yōu)點是每算一步只需計算兩個函數(shù)值，計算量小于四階RK方法，而且在計算過程中已大致估計出誤差。下面分別對Adams預測校正公式與MilneHamming公式進行討論。(2) 有時為提高精度，校正公式可迭代進行多次，但迭代次數(shù)一般超過3次。這樣就構成了預測校正系統(tǒng)。因此實際計算時，很少單獨使用顯式公式或隱式公式，而是將它們聯(lián)合使用：先用顯式公式求出的預測值，記作，再用隱式公式對預測值進行校正，求出的近似值。一般地，同階的隱式法比顯式法精確，而且數(shù)值穩(wěn)定性也好。例6 分別用四階Adams顯式和隱式公式求初值問題的數(shù)值解，取。由于線性多步法公式(936)，只有在知道了前面的之后，才能使用。特別取，可解得相應的線性多步法公式為 (944)因為，式(944)稱為Adams顯式公式，它是四階公式，局部截斷誤差為 (945)如果令，由式(943)可得解相應的線性多步法公式為 (946)因為，式(946)稱為Adams隱式公式，它是四階公式，局部截斷誤差為 (947)二、米爾恩（Milne）公式對方程組(942)，令，解出相應的線性多步法公式 (948)稱為Milne公式，其局部截斷誤差為 (949)Milne公式是四階四步顯式公式。下面介紹幾個常用的線性多步法公式。對比關于的同次項系數(shù)，得到確定的方程組： (941)可見，只要式(936)的系數(shù)滿足式(941)，方法(936)就具有階精度。 線性多步法公式的推導利用Taylor展開導出線性多步公式(936)的基本方法是：將線性多步公式(936)在處進行Taylor展開，然后與在處的Taylor展開式相比較，要求它們前面的項重合，由此確定參數(shù)。線性多步法與RungeKutta法都是高精度方法，不同的是線性多步法是利用前面已求得的在各節(jié)點處的近似值及導數(shù)近似值的線性組合來逼近的，而RungeKutta法則是用在內若干點處的一階導數(shù)預測值的線性組合，來逼近在區(qū)間內的平均斜率，從而求得的近似值。多步法中最常用的是線性多步法，其一般公式是 (936)其中均為常數(shù)。因為它們在計算時，都僅僅用到前面的一個信息；如果在計算值時，能夠比較充分地利用前面的已知信息，如，那么就可望使所得到的更加精確。對于一般方程，在考慮穩(wěn)定性對步長的限制時，常用代替（因為前面變換中），只要步長的選取使得在所用方法的絕對穩(wěn)定區(qū)域內即可。而當時，計算過程不穩(wěn)定。圖94 圖95(3) RK方法的穩(wěn)定性與前面的討論相仿，將RK方法用于模型方程(933)，可得二、三、四階RK方法的絕對穩(wěn)定區(qū)域分別為當為實數(shù)時，三、四階顯式RK方法的絕對穩(wěn)定區(qū)域分別為?；喌?，因此梯形公式的絕對穩(wěn)定區(qū)域為平面的左平面。而為實數(shù)時，絕對穩(wěn)定區(qū)間是。(1) Euler方法的穩(wěn)定性Euler方法用于模型方程(933)，得，所以有。在上述定義中，規(guī)定嚴格不等式成立，是為了和線性多步法的絕對穩(wěn)定性定義一致。 如果(934)式中，則稱單步法(925)是絕對穩(wěn)定的。因為通過點試驗方程的解曲線（它滿足）為，而一個階單步法的局部截斷誤差在時有，所以有 (935)這樣可以看出是的一個近似值。所以我們考慮的情形，這時不同的數(shù)值方法可能是數(shù)值穩(wěn)定或不穩(wěn)定的。若有個不同的特征值，則可對角化為，再作變換，得到個非耦合的方程，其中可以復數(shù)，所以一般討論(933)中的為復數(shù)。事實上，方程可簡寫為，作變換即可得。為
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