【正文】 實際應(yīng)用時，選擇合適的算法有一定的難度，既要考慮算法的簡易性和計算量，又要考慮截斷誤差和收斂性、穩(wěn)定性 。 它們都是基于把一個連續(xù)的定解問題離散化為一個差分方程來求解 ， 是一種步進(jìn)式的方法 。 單步法主要有歐拉法 、 改進(jìn)歐拉法和龍格 — 庫塔方法 。69/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 本章小結(jié) 本章介紹了常微分方程初值問題的基本數(shù)值解法 。68/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 當(dāng) λ為復(fù)數(shù)時 當(dāng) λ為實數(shù)時 | 1 | 1 R e ( ) 1 1hh??????表 示 復(fù) 平 面 上 以為 中 心 ， 以 為 半 徑的 圓 , 此 圓 稱 為 向 前 歐 拉 方 法 的絕 對 穩(wěn) 定 區(qū) 域 。 一般分析某算法的穩(wěn)定性時，為簡單起見，只考慮 模型方程或 試驗方程 /* test equation */ yy ???167。 單步法的穩(wěn)定性 64/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。 分別用歐拉顯、隱式格式和改進(jìn)的歐拉格式計算數(shù)值解。 這就涉及到算法穩(wěn)定性問題 。 單步法的穩(wěn)定性 穩(wěn)定性在微分方程的數(shù)值解法中是一個非常重要的問題 。:2位小數(shù)點后至少保留取步長處的近似值和的解在方法計算初值問題用改進(jìn)的例????????hyxyyyE u l e r方法改進(jìn)的解 E u l e r: ? ???????????????校正預(yù)測 ),(),(2 ),(1111nnnnnnnnnnyxfyxfhyyyxhfyyxyyyxf s i n),( 2???2211( si n )( si n )1()2p n n n nq n p p nn p qy y h y y xy y h y y xy y y??? ? ? ?? ? ? ???,1)0( 0 ??? hyy60/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis )(21)s i n()s i n(1122qpnnppnpnnnnpyyyxyyhyyxyyhyy????????????1)0( 1,0 0 ??? yyn7 1 5 4 )( 7 9 9 2 7 6 3 1 7 0 ,01 ?????yyyyn pp時5 2 6 1 )(5 7 5 2 5 4 7 6 9 6 ,12 ?????yyyyn pp時167。這是一種一步 顯式格式 ,它可以表示為嵌套形式 。 改進(jìn) 歐拉 (Euler)方法 ?????????????????)(21),(),(11qpnpnnqnnnpyyyyxhfyyyxhfyy實際計算時，常改寫成以下形式 幾何 解釋 xn xn+1 A B Pn+1=(A+B)/2 歐拉法 改進(jìn)歐拉法 梯形法 56/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis predictor corrector ),(0 1 iiii yxhfyy ???? ? ),(),(21 0 11 ??? iiii yxfyxf? ?),(),(2 0 111 ??? ??? iiiiii yxfyxfhyy57/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。 改進(jìn) 歐拉 (Euler)方法 先用歐拉公式 ()求出一個初步的近似值 ,稱為 預(yù)測值 , 它的精度不高 , 再用梯形公式對它校正一次 ,即迭代一次 ,求得 yn+1,稱為 校正值 , 這種預(yù)測 校正方法稱為 改進(jìn)的歐拉公式 ： 1ny ?? ???????????????校正預(yù)測 ),(),(2 ),(1111nnnnnnnnnnyxfyxfhyyyxhfyy稱為 Euler公式與梯形公式的 預(yù)測 — 校正系統(tǒng) 。 綜合歐拉公式和梯形公式便可得到改進(jìn)的歐拉公式 。 改進(jìn) 歐拉 (Euler)方法 顯式歐拉公式計算工作量小 ,但精度低 。 改進(jìn) 歐拉 (Euler)方法 52/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。但注意到該公式是 隱式 公式，計算時不得不用到迭代法，其迭代收斂性與歐拉公式相似。 ? 隱式 歐拉法的局部截斷誤差： 47/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。若步長 h充分小，可用弦線和垂線 x=xn+1的交點近似曲線與垂線的交點。 但是注意，隱式公式中右邊含有 f(xn+1 , yn +1 ) , 由于 yn +1不準(zhǔn)確，所以不能直接用 y39。 隱式歐拉公式中的未知數(shù) yn+1 可通過以下迭代法求解： 0)1( 1 ) ( )1 1 1( , )( , )n n n nkkn n n ny y h f x yy y h f x y??? ? ?? ??? ???（42/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。隱式公式不能直接求解，一般需要用 Euler顯式公式得到初值，然后用 Euler隱式公式迭代求解 。 歐拉 (Euler)法 向后歐拉公式 ?隱式歐拉法或向后歐拉法 ?/* implicit Euler method or backward Euler method*/ 11( ) ( )() nnny x y xyxh???? ?xn+1點向后差商近似導(dǎo)數(shù) 111 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )( ) ( , )n n nnnn n n n ny x y x hy xy x yy x y y h f x y??? ? ? ??????? ? ?代 入隱式或后退歐拉公式 41/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。39/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。 歐拉 (Euler)法 整體截斷誤差 1 1 1( ) .n n ne y x y? ? ???記1 1 2 1 211 1 2 , , ( ) , ( ) , , ( ) , ( ), , , .nnnnnny y y y y x y xy x y xe y y y???因 為 計 算 時 用 到 的 , 是 的 近 似 值 每 步 產(chǎn) 生 的 誤 差 會 累 積 到 計 算 的 誤 差中 因 此 與 , , 都 有 關(guān) 稱 整 體 截 斷 誤 差為1 1 1 1 11111 1| | | ( ) | | ( ) | | | | | | | . ( 3)n n n n nnnnn ne y x y y x y y yT y y? ? ? ? ????? ?? ? ? ? ? ?? ? ?37/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。 歐拉 (Euler)法 歐拉方法的收斂性 定義 若給定方法的局部截斷誤差滿足 則稱該方法是 P 階的 ，或稱為 具有 P 階精度 。 歐拉 (Euler)法 歐拉方法的收斂性 11212 ( ) T a y l or , ( , ) ,( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 ( ) ( , ( ) ) ( ) ( 1)2n n n n nn n n n nn n n ny x x x xhy x y x h y x hy x yhy x hf x y x y????????? ??? ? ? ? ???? ? ?將 在 點 展 開1( ) , ( 8 . 2 ) ( ) ( , ( ) ) ( 2 )nn n nnyxy y x h f x y x? ?假 定 已 知 準(zhǔn) 確 值 利 用 歐 拉 公 式 ， 定 義34/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。y,x(fydxdy ????x0 x1 x2 x3 y0 h h h 歐拉折線法 30/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022