【正文】 學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 1,y ( 0 )1x0 ,:????????? yxdxdy的數(shù)值解用歐拉方法求下列方程例?????????????????))((1)()1( 0 . 5 ) ( 01( 0 . 5 )11120001yhxyyyyhxyyy解： Euler公式為 ),(1 nnnn yxhfyy ???當(dāng) h= ?,1,0?n nnn yhxy ?? ?? hh分別取31/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 1)1( 0 . 2 5 ) ( ( 0 . 2 5 ) 0001 ?????? yxyyy),1,0( 1 ????? nyhxyy nnnn當(dāng) h= ))((1 )( 1112?????? yxyyy1 9 1 3 4 )0 6 2 )((0 6 2 )( 2223?????? yxyyy3 9 6 0 )1 9 1 3 4 )((1 9 1 3 4 )1 9 1 3 4 ,()()( 3334???????? hfyyxyyy32/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 1)y ( 0 。29/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。 歐拉 (Euler)法 1,1,0 )( ),(01 ????????? Nnayyyxhfyy nnnn ?的解作為微分方程初值問題的數(shù)值解，即 .,)( 方法稱為 E u l e ryxy nn ?以差分方程初值問題 28/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。向 前 歐 拉 公 式 和 向 后 歐 拉 公 式 ：25/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。 歐拉 (Euler)法 若 用向后差商近似導(dǎo)數(shù) ，即 ))(,()()( 111 ??? ?? nnnn xyxhfxyxy?????? ???)(),(0111ayyyxhfyy nnnnhxyxyxy nnn)()()( 11??? ??向后 Euler方法 ))(,()()( 111 ??? ?? nnnn xyxfh xyxy))(,()( 111 ??? ?? nnn xyxfxy24/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。 歐拉 (Euler)法 還可用以下方法推導(dǎo) Euler格式： ★ 數(shù)值微分 ★ 數(shù)值積分法 對微分方程的離散，可以有多種思路，但最基本的想法是“以直代曲” 22/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。 P ? i + 1 P n ? y= y( x) P 1 ? P i? P n P i + 1 P 0 x 0 x 1 x i x i + 1 x n P i P 1 這樣 ,從 x0逐個(gè)算出 對應(yīng)的數(shù)值解 nxxx ?, 21nyyy ?, 21nPPPP ?32120/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。重復(fù)以上過程 ,就可獲得一系列的點(diǎn) :P1,P1,… ,Pn。過點(diǎn) (x0,y0),以 f(x0,y0)為 斜率的切線方程為 當(dāng) 時(shí) ,得 ))(,( 0000 xxyxfyy ???1xx ? ))(,( 010001 xxyxfyy ???這樣就獲得了 P1點(diǎn)的坐標(biāo)。積分曲線上每一點(diǎn) 的切線的斜率 等于函數(shù) 在這點(diǎn)的值。 歐拉 (Euler)法 歐拉（ Euler）方法是解初值問題的最簡單的數(shù)值方法。 1 2 1 2| ( , ) ( , ) | | |f x y f x y L y y? ? ?12/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 解析解法 ：（常微分方程理論） 只能求解極少一類常微分方程；實(shí)際中給定的問題不一定是解析表達(dá)式，而是函數(shù)表，無法用解析解法。 11/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。 引言 在高等數(shù)學(xué)中，對于常微分方程的求解，給出了一些典型方程求解析解的基本方法，如 可分離變量法、常系數(shù)齊次線性方程的解法、常系數(shù)非齊次線性方程的解法 等。 的解xxy ? cxxy ?? 2)(., 才能確定方程的解件方程加上適當(dāng)?shù)亩ń鈼l邊值條件初始值條件定解條件)2()1(:同一個(gè)微分方程 ,具有不同的初始條件 9/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 39。如果未知函數(shù) y及其各階導(dǎo)數(shù) 都是一次的 ,則稱它是 線性 的 ,否則稱為 非線性 的。自變量的個(gè)數(shù)為兩個(gè)或兩個(gè)以上的微分方程叫 偏微分方程 。 引言 包含自變量、未知函數(shù)及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程稱為 微分方程 。 引言 下表是經(jīng)過測量得到部分容器高度與直徑的關(guān)系 . H 0 D 0 dxDdV 241 ??根據(jù)上表的數(shù)據(jù) ,可以擬合出倒葫蘆形狀容器的圖 ,建立如圖所示的坐標(biāo)軸后 ,問題即為如何根據(jù)任意高度 x標(biāo)出容器體積 V的刻度 ,由 微元思想分析 可知 5/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。 單步法的穩(wěn)定性 3/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。 歐拉 (Euler)法 167。數(shù)值分析 Numerical Analysis 第八章 常微分方程數(shù)值解法 鄭州大學(xué)研究生課程 （ 20222022學(xué)年第一學(xué)期） 2/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 第八章 常微分方程數(shù)值解法 167。 引言 167。 改進(jìn)歐拉 (Euler)方法 167。 引言 問題提出 倒葫蘆形狀容器壁上的刻度問題 .對于圓柱形狀容器壁上的容積刻度 ,可以利用圓柱體體積公式 HDV22 ??????? ?其中直徑 D為常數(shù) .由于體積 V與相對于容器底部的任意高度H的函數(shù)關(guān)系明確 ,因此在容器上可以方便地標(biāo)出容器刻度 ,而對于幾何形狀不是規(guī)則的容器 ,比如倒葫蘆形狀容器壁上如何標(biāo)出刻度呢 ? 4/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。 引言 其中 x表示高度 ,直徑 D是高度 x的函數(shù) ,記為 D(x),因此得到如下微分方程初值問題 ???????0)0()(41 2VxDdxdV?只要求解上述方程 ,就可求出體積 V與高度 x之間的函數(shù)關(guān)系 ,從而可標(biāo)出容器壁上容積的刻度 ,但問題是函數(shù) D(x)無解析表達(dá)式 ,我們無法求出其解析解 . 6/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。在微分方程中 , 自變量的個(gè)數(shù)只有一個(gè) , 稱為 常微分方程 。微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的 階 數(shù)。 )(, nyyy ????7/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis ? 常微分方程 ( ODEs 未知函數(shù)是一元函數(shù) ) ? 偏微分方程 ( PDEs 未知函數(shù)是多元函數(shù) ) vmcgdtdv ??22xuxuutu???????? ? 0yx222?????? ??8/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis ,2)(39。0022220222( , )()11221( 0) 11c os 1c os si n( 0) 11