【正文】 1 si nxy f x yy x yxy dy x dx y c x cyyy x cyyxyx dyx dx x cyyyyx?? ??????????? ? ? ? ?????????? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ? ???????? 本章重點(diǎn)討論一階常微分方程初值問題dydxdydx當(dāng) x=0時(shí) ,y=1,可得 c=1特解 當(dāng) x=0時(shí) ,y=1,可得 c=1特解 兩邊積分 通解 10/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。但能求解的常微分方程仍然是有限的，大多數(shù)的常微分方程是不可能給出解析解。 引言 ? 待求解的問題 ： 一階 常微分方程的 初值問題 /* InitialValue Problem */: ????????0)(],[),(yaybaxyxfdxdy 解的存在唯一性 （“常微分方程”理論）：只要 f (x, y) 在 [a, b] ? R1 上連續(xù)，且關(guān)于 y 滿足 Lipschitz 條件 ，即存在與 x, y 無關(guān)的常數(shù) L 使 對任意定義在 [a, b] 上的 y1(x) 和 y2(x) 都成立，則上述 IVP存在唯一解 。 如何求解 13/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 14/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 15/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。初值問題 的解 y=y(x)代表通過點(diǎn) 的一條稱之為微分方程的 積分曲線 。 ??????00 )(),(yxyyxfy),( 00 yx),( yx )(xy? ),( yxf16/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis P ? i + 1 P n ? y= y( x) P 1 ? P i? P n P i + 1 P 0 x 0 x 1 x i x i + 1 x n P i P 1 Euler法的求解過程是 :從初始點(diǎn) P0(即點(diǎn) (x0,y0))出發(fā) , 作積分曲線 y=y(x)在 P0點(diǎn)上切線 (其斜率為 ),與 x=x1直線 10PP0 0 0( ) ( , ( ) )y x f x y x? ?相交于 P1點(diǎn) (即點(diǎn) (x1,y1),得到 y1作為 y(x1)的近似值 ,如上圖所示。 17/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis P ? i + 1 P n ? y= y( x) P 1 ? P i? P n P i + 1 P 0 x 0 x 1 x i x i + 1 x n P i P 1 同樣 , 過 點(diǎn) P1(x1,y1),作積分曲線 y=y(x)的切線 交直線 x=x2于 P2點(diǎn) ,切線 的斜率 直線方程為 21PP)( 1xy? 11( , )f x y?))(,( 1111 xxyxfyy ???))(,( 121112 xxyxfyy ???當(dāng) 時(shí) ,得 2xx ?18/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 當(dāng) 時(shí) ,得 P ? i + 1 P n ? y= y( x) P 1 ? P i? P n P i + 1 P 0 x 0 x 1 x i x i + 1 x n P i P 1 由此獲得了 P2的坐標(biāo)。 對已求得點(diǎn) 以 為斜率作直線 ),( nnn yxP)( nxy? ( , )nnf x y? ))(,( nnnn xxyxfyy ???1?? nxx ))(,( 11 nxnnnn xxyxfyy ??? ??nn yxy ?)(取 19/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 從圖形上看 ,就獲得了一條近似于曲線 y=y(x) 的折線 。 歐拉 (Euler)法 通常取 (常數(shù) ),則 Euler法的計(jì)算格式 hhxx iii ???? 1???????)(),(001xyyyxhfyy iiii i=0,1,… ,n ( ) 21/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。 歐拉 (Euler)法 (1) 用差商近似導(dǎo)數(shù) ))(,()()()()( 1 nnnnnn xyxhfxyxyhxyxy ?????????????)(),(01ayyyxhfyy nnnn差分方程初值問題 向前 Euler方法 hxyxyxy nnn)()()( 1 ??? ? ))(,()()( 1nnnn xyxfhxyxy ???))(,()( nnn xyxfxy ??23/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。 歐拉 (Euler)法 （ 2）用數(shù)值積分方法 ? ???? 1 ))(,()()( 1 nnxxnn dxxyxfxyxy?? ?? ?? 11 ))(,()( nnnn xxxx dxxyxfdxxy1111( , ) ( , ( ) ) , ( , ) ( , ( ) ) ,( ) ( )n n n nn n n nf x y f x y x f x y f x y xy x y y x y????????分 別 用 左 矩 形 和 右 矩 形 公 式 ， 即 代 替 上 式 右 端 的 積 分 , 并 注 意 , 分 別 得 到11 1 1 ( , ) ( , ) n n n nn n n ny y h f x yy y h f x y?? ? ?????。 歐拉 (Euler)法 若對積分用梯形公式，則得 ? ?))(,())(,(2)()( 111 ??? ??? nnnnnn xyxfxyxfhxyxy? ?????????? ??? )(),(),(20111ayyyxfyxfhyy nnnnnn梯形歐拉公式 26/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 例 用歐拉法解初值問題 ??????????1)0()(2yxxyyy取步長 h= ,計(jì)算過程保留 4位小數(shù) 解 : h=, 歐拉迭代格式 2),( xyyyxf ???21 ),( iiiiiiii yhxhyyyxhfyy ?????? ( 4 ) ( 0 , 1 , 2 3 )i i iy x y i? ? ? ，當(dāng) k=0, x1= ， 已知 x0=0， y0=1， 有 y()?y1= 1(4－ 0 1)＝ 當(dāng) k=1, x2= ， 已知 x1 =， y1 =， 有 y()? y2 = (4－ )＝ 當(dāng) k=2, x3 = ， 已知 x2 =， y2 =， 有 y() ?y3= ( )= 27/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。 歐拉 (Euler)法 hyy nnn : 1 ????單步法一般形式? ?????????? ??? )(),(),(20111ayyyxfyxfhyy nnnnnn11 1 1 ( , ) ( , ) n n n nn n n ny y h f x yy y h f x y?