【正文】 cal Analysis predictor corrector ),(0 1 iiii yxhfyy ???? ? ),(),(21 0 11 ??? iiii yxfyxf? ?),(),(2 0 111 ??? ??? iiiiii yxfyxfhyy57/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。 改進(jìn) 歐拉 (Euler)方法 可以證明 ,改進(jìn)的歐拉公式 的精度為 二階 。這是一種一步 顯式格式 ,它可以表示為嵌套形式 。 ? ?)),(,(),(2 11 iiiiiiii yxhfyxfyxfhyy ???? ??58/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis ? ???????????????校正預(yù)測(cè) ),(),(2 ),(1111nnnnnnnnnnyxfyxfhyyyxhfyy 法計(jì)算公式改進(jìn)的解 E u l e r:????????????????nnnnnnnnnnnyhhyyhyyyhyyhyyy2)(2 211nnnhhyhhyy )21()21(2021 ?????? ?nhx ?令xhhhhhxhhxhnhehhhhy ?????????????22222020022)21(lim)21(limlim例 59/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis ?????????????????)(21),(),(11qpnpnnqnnnpyyyyxhfyyyxhfyy .5, ,1)1(,s i n39。:2位小數(shù)點(diǎn)后至少保留取步長(zhǎng)處的近似值和的解在方法計(jì)算初值問(wèn)題用改進(jìn)的例????????hyxyyyE u l e r方法改進(jìn)的解 E u l e r: ? ???????????????校正預(yù)測(cè) ),(),(2 ),(1111nnnnnnnnnnyxfyxfhyyyxhfyyxyyyxf s i n),( 2???2211( si n )( si n )1()2p n n n nq n p p nn p qy y h y y xy y h y y xy y y??? ? ? ?? ? ? ???,1)0( 0 ??? hyy60/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis )(21)s i n()s i n(1122qpnnppnpnnnnpyyyxyyhyyxyyhyy????????????1)0( 1,0 0 ??? yyn7 1 5 4 )( 7 9 9 2 7 6 3 1 7 0 ,01 ?????yyyyn pp時(shí)5 2 6 1 )(5 7 5 2 5 4 7 6 9 6 ,12 ?????yyyyn pp時(shí)167。 改進(jìn) 歐拉 (Euler)方法 61/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 開(kāi)始 輸入 x0, y0, h , N 1 ? n x0 + h ? x1 y0+ h f( x0, y0 ) ? yp y0+ h f( x1, yp) ? yq ( yp+ yq) /2 ? y1 輸出 x1, y1 n+ 1 ? n n= N ? x1 ? x0 y1 ? y0 結(jié)束 n y 改進(jìn)歐拉法的算法 62/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。 單步法的穩(wěn)定性 穩(wěn)定性在微分方程的數(shù)值解法中是一個(gè)非常重要的問(wèn)題 。 因?yàn)槲⒎址匠坛踔祮?wèn)題的數(shù)值方法是用差分格式進(jìn)行計(jì)算的 ， 而在差分方程的求解過(guò)程中 ， 存在著各種計(jì)算誤差 ， 這些計(jì)算誤差如 舍入誤差等引起的擾動(dòng) ， 在傳播過(guò)程中 ， 可能會(huì)大量積累 ，對(duì)計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性將產(chǎn)生影響 。 這就涉及到算法穩(wěn)定性問(wèn)題 。 63/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 例： 考察初值問(wèn)題 在區(qū)間 [0, ]上的解。 分別用歐拉顯、隱式格式和改進(jìn)的歐拉格式計(jì)算數(shù)值解。 ???????1)0()(30)(yxyxy 精確解 改進(jìn)歐拉法 歐拉隱式 歐拉顯式 節(jié)點(diǎn) xi xey 30?? ? ? ?101 ??101 ?10?1 ?10?2 ?10?2 ?10?3 ?10?4 ?101 ?101 ?101 ?10?2 ?10?3 ?10?4 ?10?6 ?10?7 167。 單步法的穩(wěn)定性 64/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 167。 單步法的穩(wěn)定性 65/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 定義 若某算法在計(jì)算過(guò)程中任一步產(chǎn)生的誤差在以后的計(jì)算中都 逐步衰減 ， 則稱該算法是 絕對(duì)穩(wěn)定的 /*absolutely stable */。 一般分析某算法的穩(wěn)定性時(shí)，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，只考慮 模型方程或 試驗(yàn)方程 /* test equation */ yy ???167。 單步法的穩(wěn)定性 66/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 記數(shù)值誤差為： 引進(jìn)試驗(yàn)方程： *1 1 1 ,n n nyy? ? ? ???1*1nnyy??為 由 公 式 得 到 的 準(zhǔn) 確 值 ( 無(wú) 舍 入 誤 差 ) ，為 由 公 式 實(shí) 際 得 到 的 值 ( 有 舍 入 誤 差 )., . yy ??? ? 為 一 復(fù) 常 數(shù)67/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 向前歐拉公式的穩(wěn)定性 試驗(yàn)方程的歐拉公式 若每步計(jì)算有舍入誤差，則 1 ( , ) , 0 , 1,2,n n n ny y h f x y n? ? ? ?1 ( , ) ( 1 )n n n n n ny y h f x y y h y?? ? ? ? ?* * *1 ( 2 )n n ny y h y?? ??11( 1 ) ( 2 ) : ( 1 ) , |1 | 1 n n nnnhhh? ? ????????? ? ?? ? ? ?當(dāng) 穩(wěn) 定 。68/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 當(dāng) λ為復(fù)數(shù)時(shí) 當(dāng) λ為實(shí)數(shù)時(shí) | 1 | 1 R e ( ) 1 1hh??????表 示 復(fù) 平 面 上 以為 中 心 ， 以 為 半 徑的 圓 , 此 圓 稱 為 向 前 歐 拉 方 法 的絕 對(duì) 穩(wěn) 定 區(qū) 域 。| 1 | 1 2 0 .hh??? ? ? ? ? ?絕 對(duì) 穩(wěn) 定 區(qū) 域 為 帶 狀 。69/69 鄭州大學(xué)研究生 20222022學(xué)年課程 數(shù)值分析 Numerical Analysis 本章小結(jié) 本章介紹了常微分方程初值問(wèn)題的基本數(shù)值解法 。 包括單步法和多步法 。 單步法主要有歐拉法 、 改進(jìn)歐拉法和龍格 — 庫(kù)塔方法 。 多步法是亞當(dāng)姆斯法 。 它們都是基于把一個(gè)連續(xù)的定解問(wèn)題離散化為一個(gè)差分方程來(lái)求解 ， 是一種步進(jìn)式的方法 。 用多步法求常微分方程的數(shù)值解可獲得較高的精度 。 實(shí)際應(yīng)用時(shí)，選擇合適的算法有一定的難度，既要考慮算法的簡(jiǎn)易性和計(jì)算量，又要考慮截?cái)嗾`差和收斂性、穩(wěn)定性 。