[理學(xué)]常微分方程(2)-資料下載頁
2025-01-19 07:39本頁面
【正文】 (x) 是多項式 ()mPx與指數(shù)函數(shù) xe?的乘積，而且只有多項式和指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)才能是多 項式和指數(shù)函數(shù)．因此可設(shè)（ ）有特解 * ()kx my x e x?? Q其中 ()m xQ是與 ()mPx同次的多項式． 類型 ( ) ( )?? xmf x e P x１． 表示關(guān)于 x的 m次多項式． ()mPx是常數(shù)， ?其中 前頁 結(jié)束 后頁 ?當(dāng) 不是（ ）所對應(yīng)的齊次線性方程的 特征方程 02 ??? qprr 的根時，取 ；0?k?當(dāng) 是其特征方程單根時，取 ；1?k當(dāng) ? 是其特征方程重根時，取 ,2?k 將所設(shè)的特解代入（ ）中，比較等式兩端， 使 x同次冪的系數(shù)相等，從而確定 ()m xQ 的各項系數(shù)， 得到所求之特解． 前頁 結(jié)束 后頁 例 5 求方程 xeyyy 22?????? 的一個特解 解 特征方程 012 ??? rr 的特征根 23124112,1ir ???????2?? 不是特征方程的根，所以設(shè)特解為： xAey 2* ?即 * 2 * 2( ) 2 , ( ) 4xxy A e y A e??? ??代入方程，得 27A ?故原方程的特解為 xey 2*72?前頁 結(jié)束 后頁 ? ?( ) ( ) c o s ( ) s i n? ????x nlf x e P x x P x x２． 類型 因為指數(shù)函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)仍為指數(shù)函數(shù)，正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也總是余弦函數(shù)與正弦函數(shù) , 因此，我們可以設(shè)（ ）有特解 ? ? ? ?? ?xxRxxRexy mmxk ??? s i n)(c o s)( 21* ??其中 ? ? ? ? ? ? ? ? mxRxRmm 是21 ,次多項式， ? ?nlm ,m a x? ，而 k 按 )( ???? ii ?? 或 不是特征方程的根或是特征方程 的單根依次取 0或 1． 前頁 結(jié)束 后頁 例 6 求方程 22 xyyy ?????? 的通解 解 特征方程 0122 ??? rr特征根是 121 ?? rr故對應(yīng)的齊次方程的通解 12()??xY e C C x2221 2)*(,2)*( byxbbby ??????? 因 2 0 2() xf x x e x??， 0不是特征根，故設(shè) 2210* xbxbby ???的二次多項式） （注意不要設(shè)成 22* xby ? ，一定設(shè)成一個不缺項 前頁 結(jié)束 后頁 代入原方程，得 222 1 2 0 2 1( 4 ) 2 2b x b b x b b b x? ? ? ? ? ?解 1,4,6 210 ??? bbb得 ???????????022041120212bbbbbb2* 46 xxy ???故 由定理 3知方程的通解 *2 12( ) 4 6xy Y y e C C x x x? ? ? ? ? ? ?前頁 結(jié)束 后頁 常微分方程的應(yīng)用舉例 在學(xué)習(xí)了幾類微分方程的解法基礎(chǔ)上，本節(jié)將舉例說明如何通過建立微分方程解決一些在幾何上的實際問題，并且介紹微分方程在經(jīng)濟數(shù)量分析中的應(yīng)用． 例 1 求過點（ 1， 3）且切線斜率為 2x的曲線方程． 解 設(shè)所求的曲線方程是 y =y (x) 則依題意有滿足下面的關(guān)系： 213dd()????? ??yxxy（ ） （ ） 前頁 結(jié)束 后頁 其中 y (1)=3 表示 x=1 時 y的值為 3 要求出滿足（ ）式的函數(shù)，只需求一次不定積分即可．顯然，這種函數(shù)的一般形式是 Cxy ?? 2（ C為任意常數(shù)） 這是一簇曲線，曲線簇中每一條曲線在點 x處的斜率均為 2x．如果將已知條件（ ）式代入上式， 求出 2C ?則 22 ?? xy就是所求過點（ 1,3）且切線斜率為 2x的曲線方程 前頁 結(jié)束 后頁 例 2 某種商品的需求量 Q 對價格 P 的彈性為 該商品的最大需求量為 800(即 P=0時 ,Q=800) ,求 需求量 Q與價格 P的函數(shù)關(guān)系． 解 設(shè)所求的函數(shù)關(guān)系為 Q=Q(P) 根據(jù)需求價格彈性的定義有 015800d.d| ??????? ?? PPQPQPQ(9 .5 .3 )(9 .5 .4 ) 15dd ( . )??QP PQP為求出 Q = Q(P) ，我們可以將（ ）式改寫成 前頁 結(jié)束 后頁 兩邊積分，得 1l n 1 . 5Q P C? ? ?即 111 . 5 1 . 5 ()P C CPQ e C e C e?? ?? ? ? 于是 = 8 0 0C所以 Q與 P的函數(shù)關(guān)系為 1 . 5800 PQe ??= 80 0Q再由（ ）可知： 當(dāng) P = 0 時， d 1 . 5 dQ PQ ??即 前頁 結(jié)束 后頁 例 3 已知某廠的純利潤 L對廣告費 x的變化率 ddLx與常數(shù) A和純利潤 L之差成正比，當(dāng) x=0時， L=L0,試求純 利潤 L與廣告費 x之間的函數(shù)關(guān)系． 解 由題意列出方程 分離變量 ddL kxAL ??兩邊積分得 1ln)l n ( CkxLA ????????????? 00()(LLkLAkdxdLx為常數(shù)） 前頁 結(jié)束 后頁 )1(1CCCeLA kx ??? ? 其中kxCeAL ???由初始條件 00| LL x ??解得 0LAC ??所以，純利潤與廣告費的函數(shù)關(guān)系為 kxeLAAL ???? )( 0
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1