一階常微分方程ppt課件-資料下載頁
2024-12-08 03:00本頁面
【正文】 n)2c o s( 2 ????? dyexxdxxexy yy解 : ,2s i n),(,2c o s),( 2 ????? yy exxyxNxexyyxM由于??? y yxM ),(yxex 2c o s ?,),( x yxN ???故所給方程是恰當(dāng)方程 . ,),(),(全平面上連續(xù)在由于 yxNyxM則故取 ),0,0(),( 00 ?yx?? ?? yx dyyxNdxxM 00 ),()0,(?? x x dx0 22x?? ??? y y dyexx0 2 )2(s i n.2)1(s i n 2 yexxy y ????.,2s i n 2 為任常數(shù)ccyexxy y ???故通解為 : .2s i n 2 yexxy y ???? ?? ),( )0,0( ),(),(),( yx dyyxNdxyxMyxu,2s in),(2c o s),(2 ?????yyexxyxNxexyyxM（ 2）積分因子 非恰當(dāng)方程如何求解 ? 對變量分離方程 : ,0)()( ?? dxyxfdy ? 不是恰當(dāng)方程 . 得方程兩邊同乘以 ,)(1 y?,0)()(1 ?? dxxfdyy?是恰當(dāng)方程 . xyyxf??????? )(10))(( ?對一階線性方程 : ,0))()(( ??? dxxQyxPdy不是恰當(dāng)方程 . 得方程兩邊同乘以 ,)(?? dxxPe,0))()(()()( ????? ?? dxxQyxPedye dxxPdxxP則 是恰當(dāng)方程 . 可見 ,對一些非恰當(dāng)方程 ,乘上一個因子后 ,可變?yōu)榍‘?dāng)方程 . ()()()P x d xP x d xep x ex???? ????()( ( ) ( ) )P x d xe p x y Q xy? ?? ? ??? 定義 使得如果存在連續(xù)可微函數(shù) ,0),( ?yx?0),(),(),(),( ?? dyyxNyxdxyxMyx ??.)1(),(, 的一個積分因子是方程則為恰當(dāng)方程 yx?例 .,0)32()43(),(222并求其通解的一個積分因子是方程驗證?????dyyxxdxxyyyxyx?解 : 對方程有 ?),(),( yxMyx??),(),( yxNyx?3322 43 yxyx ?243 32 yxyx ?)1(,0),(),( ?? dyyxNdxyxM由于 ???yyxMyx ),(),(?xyxNyx??? ),(),(?222 126 yxyx ?,),( 后為恰當(dāng)方程故所給方程乘于 yx?.),( 是其積分因子所以 yx?后得對方程兩邊同乘以 yxyx 2),( ??0)32()43( 2433322 ???? dyyxyxdxyxyx把以上方程重新“分項組合”得 0)34()23( 2433322 ???? dyyxdxyxy d yxdxyx即 03423 ?? ydxydx也即 0)( 3423 ?? yxyxd故所給方程的通解為 : 。ccyxyx 為任常數(shù),3423 ??積分因子的確定 :0),(),(),(充要條件是的積分因子的是方程 ?? yxNdxyxMyx?xyxNyxyyxMyx????? ),(),(),(),( ??即 ??? )(xNyMyMxN?????????????? )(xNyMyMxN???????????.0),(),(),(,),(更困難方程一般來說比直接解微分要想從以上方程求出程為未知函數(shù)的偏微分方上面方程是以?? dyyxNdxyxMyxyx??盡管如此 ,方程 ??? )(xNyMyMxN???????????還是提供了尋找特殊形式積分因子的途徑 . 命題 1， 2 微分方程 )1(,0),(),( ?? yxNdxyxMx有 一 個 僅 依 賴 于 的 積 充分 因 子 的 要 條 件 是,)(NxNyM?????的積分因子為這時有關(guān)僅與 )1(,x,)( )(?? dxxex ??NxNyMx)()(???????這里充要條件是的積分因子的有一個僅依賴于微分方程同理 y)1(,)(MxNyM??????的積分因子為這時有關(guān)僅與 )1(,y,)( )(?? dyyey ?? .)()(MxNyMy????????這里( , ) ( , ) 0( , ) ( ) ,M x y d x N x y xx y x?????證 ： 必 要 性 如 果 方 程 存 在 僅 與有 關(guān) 的 積 分 因 子 則0,y?? ?? 這 時 方 程??? )(xNyMyMxN???????????變成 dxNxNyMd)(?????????? )( xNyMdxdN ??????即 ,有關(guān)由于上式左側(cè)僅與 x,的函數(shù)的微分所以上式右側(cè)只能是 x( , ) ( , ) 0M x y d x N x yx??從 而 微 分 方 程 有 一 個 僅 依賴 于 的 必積 分 因 子 的 要 條 件 是(), ( *)MNyxN?????此時求得積分因子 NxNyMx)()(???????這里,)( )(?? dxxex ??.),( 無關(guān)而與的函數(shù)只是 yxx ?( *) ( ) , .x x y?若 只 是 的 函 數(shù) 而 與充 性 無 關(guān)分,)( )(?? dxxex ??則。dyyxNdxyxM 一個積分因子是方程 0),(),( ??NxNyMx)()(???????這里dxxd )(??? ?( ) ( , )x N x yx???( ) ( , )( , ) ( )d x N x yN x y xd x x? ? ????()( , ) ( )x dxN x y e x???? ( , )() N x yxx? ???( , ) ( , )( ) ( )M x y N x y xyx???????( , )() N x yxx? ???( , )() M x yxy? ???( ) ( , )x M x yy????) ( , ) ( , ) 0x M x y d x N x y d y? ??故 ( 是 方 程 一 個 積 分 因 子 .例 求方程 ( ) ( ) 0x y y x y?? ? ? ? 的通解 . 解 積分因子 2211( ) ( )x x y y x y x y? ?? ? ? ? ?, 22ln ( ) a r c t a n ln | |yx y Cx? ? ?1積 分 得2a r c t a n22() yxx y C e? ? ?2 2 2 2 0x d x y d y x d y y d xx y x y??????對于齊次方程： 積分因子 1( , ) ( , )x P x y y Q x y? ? ?,
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