常微分方程43高階微分方程的降階和冪級(jí)數(shù)解法-資料下載頁
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【正文】 0 , 1 , 2 ,kak? ??02 2( 1 ) ,2 ! ( 1 ) ( 2 ) ( )kk kaak n n n k??? ? ?1 , 2 ,k ?0,n B e sse l? ??因此在 時(shí) 得到 方程的一個(gè)解2010 21( 1 ) , ( 4 . 7 7 )2 ! ( 1 ) ( )n k k nkkay a x xk n n k???? ? ????0a若 將 任 常 數(shù) 取 為012 ( 1 )nan???10( ) ( 1 ) ( )xpp e x d x p p p? ?? ? ? ? ? ??這 里 , 注 意 到 時(shí) .2021/6/17 常微分方程 因此 ()變?yōu)? 2101( 1 ) ( ) ( ) , ( 4 . 7 7 )! ( 1 ) 2k k nnkxy J xk n k???? ? ?? ? ??( ) ( 4 . 7 4 ) ,.nJ x B e s s e ln B e s s e l是由 方程 定義的特殊函數(shù) 稱為 階 函數(shù),n? ??當(dāng) 時(shí) 完全類可得21 0 , 1 , 2 ,kak? ??02 2( 1 ) ,2 ! ( 1 ) ( 2 ) ( )kk kaak n n n k??? ? ? ? ? ?1, 2 ,k ?2021/6/17 常微分方程 若取 012 ( 1 )nan??? ? ?則可得 ()的另一個(gè)特解 2201( 1 ) ( ) ( ) , ( 4 . 7 8 )! ( 1 ) 2k k nnkxy J xk n k????? ? ?? ? ? ??( ) ( 4 . 7 4 ) ,.nJ x B e s s e ln B e s s e l? 是由 方程 定義的特殊函數(shù) 稱為 階 函數(shù)由達(dá)朗貝爾判別法 ,對任 x值 (),()收斂 . , ( ) ( )nnJ x J x?因 此 , 當(dāng) 不 等 于 非 負(fù) 整 數(shù) 時(shí) 和 都 是() 的 解 , 且 線 性 無 關(guān) .2021/6/17 常微分方程 因而 ()的通解為 12( ) ( ) ,nny c J x c J x???12,.cc這 里 為 任 常 數(shù)()n n a k n? ? ? ?2k當(dāng) 等 于 正 整 數(shù) , 而 , 不 能 從 () 確 定因此 ,不能象上面一樣求得通解 。 ()nJx但 可 用 一 3 介 紹 的 降 階 法 , 求 出 與 線 性 無 關(guān) 的 解 ,因此 ,()的通解為 112 21( ) [ ] ,()dxxnny J x c c e d xJx? ??? ?12 21( ) [ ] ,()n nJ x c c d xx J x?? ? 12,.cc 為 任 常 數(shù)2021/6/17 常微分方程 例 6 2 39。 2 9( 4 ) 0 .25x y x y x y? ? ? ?求方程 的通解解 2tx?引 入 新 變 量 我 們 有2d y d y d t d yd x d t d x d t??22( 2 ) 4d y d d y d t d yd x d t d t d x d t??代入方程得 22229( ) 025d y d yt t t yd t d t? ? ? ?3 ,5n B e ss e l?這 是 的 方 程 故 方 程 的 通 解 為2021/6/17 常微分方程 1 3 2 355( ) ( ) ,y c J t c J t???代回原來的變量得原方程的通解為 1 3 2 355( 2 ) ( 2 ) ,y c J x c J x???12,.cc 為 任 常 數(shù)2021/6/17 常微分方程 作業(yè) ?P165 2,5, ?P165 8,10
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