[理學(xué)]第3節(jié)高階微分方程-資料下載頁
2024-12-08 01:04本頁面
【正文】 s 的通解求 xxyy ????，， xCxCyir c s i nc o s01 212 ???????，對于 xxf 3c os21)(1 ?例 14 解 xxxf 2c o sc o s)( ?，設(shè) xBxAy 3s i n3c o s1 ??，xxBxA 3c os213s i n83c os8 ???代入得 ,0161 ???? BA ， ；xy 3c os161 1 ???，xx c os213c os21 ??36 ,c os21)(2 xxf ?對于，xCxCy c s i nc o s 21 ??，對于 xxf 3c os21)(1 ?，xxxf c os213c os21)( ??；xy 3c os161 1 ???，41,0 ??? BA，xxAxB c os21)s i nc os(2 ??代入得 ，xxy s i n41 2 ??原方程通解為 .s i n413c os161s i nc os 21 xxxxCxCy ????，設(shè) )s i nc o s(2 xBxAxy ??.2c o sc o s 的通解求 xxyy ????例 14 解 37 解 )()()( xfyxqyxpy ?????? (A) 中 2211 ycyc ? 不是對應(yīng)齊次方程的解 , 故 (A) 錯； 有三個線性無關(guān)的解 )(1 xy , )(2 xy , )(3 xy , 則其通解 是 ( ) ( 21 , cc 是任意常數(shù) ). (A) 32211 yycyc ?? 3212211 )()( B yccycyc ??? (C) 3212211 )1( yccycyc ???? (D) 3212211 )1( yccycyc ???? (B) 中 )()()( 3223113212211 yycyycyccycyc ??????? 是對應(yīng)齊次方程的通解 ,但沒有原方程的特解 , 故 (B)也不對； 例 15 二階非齊次線性微分方程 38 (C) 中 3212211 )1( yccycyc ???? (C) 3212211 )1( yccycyc ???? (D) 3212211 )1( yccycyc ???? 3322311 )()( yyycyyc ????? , 顯然不是原方程的通解 . ( D ) 中 3212211 )1( yccycyc ???? 3322311 )()( yyycyyc ????? , 其中 31 yy ? 與 32 yy ? 是對應(yīng)齊次方程的解 , 且線性無關(guān) , 而 3y 是原方程的特解 , 故 ( D ) 正確 . 設(shè) 0)()( 322311 ???? yykyyk , 即 0)( 3212211 ???? ykkykyk , ? 021 ??k 證 39 解 設(shè) ? ??? x uufuxxxf0d)()(s i n)( , 其中 )( xf 為連續(xù)函數(shù) , 求 )( xf . 記 )( xfy ? , 則 xyy s i n????? , 例 16 求導(dǎo)， )()(d)(c os)( 0 xxfxxfuufxxf x ????? ?,d)(c os 0??? x uufx,d)(d)(s i n)( 00 ?? ??? xx uuufuufxxxf原方程改寫為 再求導(dǎo)， ,)(s i n)( xfxxf ?????40 ,d)()(s i n)( 0? ??? x uufuxxxf,d)(c os)( 0???? x uufxxf ,s in xyy ?????因為 1,0 ?? ?r , iir ??? ? 是特征根 , 故設(shè)特解為 ，)s i nc o s( xBxAxy ??對應(yīng)齊次方程通解 特征方程 ,012 ??? 特征根 ，i??2,1?.s i nc o s 21 xCxCy c ??代入得 ,0,21 ?? BA 所以特解為 xxy c os21? , 于是得通解為 xxxCxCy c o s21s i nc o s 21 ??? . 41 ,d)()(s i n)( 0? ??? x uufuxxxf,d)(c os)( 0???? x uufxxf ,s in xyy ?????得 01 ?C , 212 ?C , 所以 )c os( s i n21)( xxxxf ?? . 初始條件 ： ,0)0( ?f ,1)0( ??fxxxCxCy c os21s i nc os 21 ???
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