【正文】 a a a??????????? ? ???? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ???() 第 3章 分組碼 寫成矩陣形式，有 HcT=0T ( ) 式中： c=(－ 1， － 2， … ， c1， c0) () ? ? ? ?? ? ? ?12112 2 2111 1 1111nnnnnnd d da a aa a aa a a??????? ? ?????? ??????H第 3章 分組碼 由式 ()知，式 ()的矩陣 H是 g(x)生成的 BCH碼的校驗(yàn)矩陣。根據(jù)定理 ，只需證明 H中任意 d－ 1列線性無(wú)關(guān)，那么這個(gè) BCH碼的最小距離至少為 d。 用反證法。假設(shè) H中 i1， i2， … ， id－ 1列線性相關(guān)，即存在不全為零的 l1， l2， … ， ld－ 1使 () ? ?? ?? ?? ?? ?? ?11212 112 122 21 2 111 10dddiiiii idii idd daa aaa al l laa a?????? ???? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ??第 3章 分組碼 設(shè) BCH碼的生成多項(xiàng)式 g(x)為 g(x)=gn－ kxn－ k+gn－ k－ 1xn－ k－ 1+…+ g1x+g0 同樣，由于 g(x)， xg(x)， x2g(x)， … ， xk－ 1g(x)為 BCH碼的一組基，因此 BCH碼的生成矩陣為 () ? ?? ?100111021 2 3 1 01 2 2 1 0100 0 0 0 00 0 0 000000 0 0kn k n knkn k n k n knkn k n k n kkgg g gggggg g g g ggg g g g g g?? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?????????????G第 3章 分組碼 BCH碼的編碼方法 1. 二元 BCH碼 二元信號(hào)在工程上最容易實(shí)現(xiàn)，因而二元 BCH碼在工程上應(yīng)用最廣泛。對(duì)給定的正整數(shù) m和 d(d=2t+1， t2m－ 1)，二元 BCH碼的碼長(zhǎng)、校驗(yàn)位數(shù)和最小漢明距離是什么呢？ 定理 給定正整數(shù) m和 t，存在一個(gè) (n， k)二元 BCH碼，其生成多項(xiàng)式以 a， a 3， a 5， … ， a 2t－ 1為根，其碼長(zhǎng) n=2m－ 1或 n|2m－ 1，能糾正 t個(gè)錯(cuò)誤，并且 n－ k≤mt。 在 GF(2m)中， a i與 a 2i有相同的最小多項(xiàng)式，因此，定理 g(x)的根去掉了 a的偶次冪。 第 3章 分組碼 例 分別找出能糾正 3和 4個(gè)錯(cuò)誤的長(zhǎng)度n=15的二元本原 BCH碼的生成多項(xiàng)式。 解 由有限域知識(shí)， GF(2)的多項(xiàng)式 x15+1可以分解為 式中： 0 3 5 715 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x m x m x m x m x m xaa a a a??0 ( ) 1 ,m x xa ??4( ) 1 ,m x x xa ? ? ?3 432( ) 1 ,m x x x x xa ? ? ? ? ?5 2( ) 1 ,m x x xa ? ? ?7 43( ) 1 ,m x x xa ? ? ?其根為 a3， a6， a9， a12； 其根為 a， a2， a4， a8； 其根為 a0； 其根為 a5， a10； 其根為 a7， a14， a15， a11。 第 3章 分組碼 (1) 糾正 1個(gè)錯(cuò)誤的 BCH碼生成多項(xiàng)式： t=1，應(yīng)選 d－ 1=2個(gè)連續(xù)根，取 a， a 2。又因?yàn)?m a(x)= m a2(x)，所以生成多項(xiàng)式為 g(x)=m a(x)=x4+x+1 (2) 糾正 2個(gè)錯(cuò)誤的 BCH碼生成多項(xiàng)式： t=2，應(yīng)選 d－ 1=4個(gè)連續(xù)根，取 a ， a2， a 3， a 4，去掉 a的偶次冪，所以生成多項(xiàng)式為 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3 4 4 3 28 7 6 411 1g x m x m x x x x x x xx x x xa a? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?　 　第 3章 分組碼 (3) 糾正 3個(gè)錯(cuò)誤的 BCH碼生成多項(xiàng)式： t=3，應(yīng)選 d－ 1=6個(gè)連續(xù)根，取 a， a 2， a 3， a4， a5， a 6，去掉 a的偶次冪，所以生成多項(xiàng)式為 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?354 4 3 2 210 8 5 4 2 1 1 1 1g x m x m x m xx x x x x x x xx x x x x xa aa?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?　 　　 　第 3章 分組碼 (4) 糾正 4個(gè)錯(cuò)誤的 BCH碼生成多項(xiàng)式： t=4，應(yīng)選 d－ 1=8個(gè)連續(xù)根，取 a， a 2， a 3， a 4， a 5， a 6， a 7， a 8，去掉 a的偶次冪，所以生成多項(xiàng)式為 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?3 5 74 4 3 2 2 4 314 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 1 1 1g x m x m x m x m xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x xa a a a?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?　 　　 　第 3章 分組碼 尋找 BCH碼的生成多項(xiàng)式是一件非常繁瑣的工作，前人已將許多二元本原 BCH碼的生成多項(xiàng)式制成了表格，需要時(shí)直接查表就可以獲得。碼長(zhǎng) n≤127的二元本原 BCH碼的生成多項(xiàng)式見(jiàn)表 ，表中最小距離為實(shí)際距離。為節(jié)省篇幅，表 ，其與二進(jìn)制的對(duì)應(yīng)關(guān)系見(jiàn)表 。 第 3章 分組碼 表 碼長(zhǎng) n≤127的二元本原 BCH碼的生成多項(xiàng)式 第 3章 分組碼 表 八進(jìn)制與二進(jìn)制的對(duì)應(yīng)關(guān)系 第 3章 分組碼 2. RS碼 定義 設(shè) q2，稱 GF(q)上碼長(zhǎng) n=q－ 1的本原 BCH碼為 RS碼。 最小漢明距離至少為 d的 RS碼的生成多項(xiàng)式為 g(x)=(x－ a)(x－ a 2)…( x－ a d－ 1) 例 設(shè) q=23， a ∈ GF(q)且是一本原元， a是多項(xiàng)式x3+x+1的根，求最小漢明距離至少為 5的 RS碼的生成矩陣和校驗(yàn)矩陣。 第 3章 分組碼 解 因?yàn)橐?RS碼的最小漢明距離至少為 5，所以應(yīng)選a ， a 2， a3， a4為生成多項(xiàng)式的根，即 g(x)=(x－ a)(x－ a2)(x－ a3)(x－ a4) =x4+a3x3+x2+ax+a3 根據(jù)式 ()， RS碼的校驗(yàn)矩陣為 3333331 1 0 00 1 1 00 0 1 1a a aa a aa a a???????G第 3章 分組碼 根據(jù)式 ()， RS碼的校驗(yàn)矩陣為 6 5 4 3 22 6 2 5 2 4 2 3 2 2 23 6 3 5 3 4 3 3 3 2 34 6 4 5 4 4 4 3 4 2 46 5 4 3 25 3 6 4 24 5 2 6 33 6 2 5 41( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11111a a a a a aa a a a a aa a a a a aa a a a a aa a a a a aa a a a a aa a a a a aa a a a a a??????????????????H第 3章 分組碼 BCH碼的譯碼方法 1. 一般譯碼方法 設(shè)發(fā)送端發(fā)送碼字多項(xiàng)式為 c(x)=－ 1xn－ 1+－ 2xn－ 2+…+ c1x+c0 接收端接收的矢量多項(xiàng)式為 y(x)=rn－ 1xn－ 1+rn－ 2xn－ 2+…+ r1x+r0 產(chǎn)生的錯(cuò)誤圖樣多項(xiàng)式為 e(x)=en－ 1xn－ 1+en－ 2xn－ 2+…+ e1x+e0 第 3章 分組碼 假定共產(chǎn)生了 v個(gè)錯(cuò)誤，即錯(cuò)誤的圖樣在 x的 l1, l2， … ，lv次冪處不為零。 式 ()表明接收矢量 y的 出錯(cuò)，如果接收端能確定出錯(cuò)位置及錯(cuò)誤值，用 y(x)－ e(x)不難將錯(cuò)誤糾正。為方便，常稱 為錯(cuò)誤位置。為了確定錯(cuò)誤位置及錯(cuò)誤值，需要計(jì)算伴隨式和錯(cuò)位多項(xiàng)式。 ? ? 1111vvll lvve x Y x Y x Y x??? ? ? ?11, , ,vvl l lr r r?12, , , vlllx x x() 第 3章 分組碼 1) BCH碼的伴隨式 BCH碼的伴隨式仍然是校驗(yàn)矩陣與接收矢量的乘積，設(shè) d=2t+1，由式 ()有 1212 1 2 2 22T T T2 1 2 2 2 2210010( ) ( ) 10( ) ( ) ( ) 100vnnnnt n t n ttYSSSYa a aa a aa a a??????????????????????????????????? ? ? ????????????????? ??????????????s Hy He第 3章 分組碼 令 ，則式 ()可簡(jiǎn)化為 () 1212121222 2 21222 2 212()()( ) ( ) ( )()( ) ( ) ( )vvvlllvlllvtlllt t tveY Y YeY Y YeY Y Yaa a aaa a aaa a a?? ? ? ? ???? ??? ? ????????? ??? ? ? ????, 1 , 2 , ,klkX k va??? ?11( ) ( 1 , 2 , , 2 )ivv lj j jj i i iiiS e Y Y X j taa??????＝ ＝() 第 3章 分組碼 將式 ()寫成方程組形式，有 () 1 1 1 2 22 2 22 1 1 2 22 2 22 1 1 2 2vvvvt t tt v vS Y X Y X Y XS Y X Y X Y XS Y X Y X Y X? ? ? ???? ? ? ????? ? ? ? ??第 3章 分組碼 2) BCH碼的錯(cuò)誤位置多項(xiàng)式 定義 設(shè) BCH碼可以糾正 t個(gè)錯(cuò)誤，稱多項(xiàng)式 為錯(cuò)誤位置多項(xiàng)式。式中， Xi與 σi(i=1， 2， … ， t)間滿足： () ? ? ? ? ? ? ? ?12de f211 2 11 1 11tttttx X x X x X xx x x x?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ?　 　 　? ?? ?1 1 22 1 2 1 3 1 2 3 2 421121ttt t ttttX X XX X X X X X X X X XX X X XX X X????? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ???? ? ????? ???　 　 　() 第 3章 分組碼 很明顯，錯(cuò)誤位置多項(xiàng)式的根剛好是錯(cuò)誤位置數(shù) Xi(i=1，2， … ， t)的倒數(shù)，即 ，更清楚地，有 將式 ()兩邊同時(shí)乘以 ，得 () ? ?1 1 2 11 2 110