[理學(xué)]常微分方程第五講：全微分方程-資料下載頁
2024-10-16 21:13本頁面
【正文】 .(,xpy f x p xdpp f x p f x pdx???對(duì) 關(guān)于 求導(dǎo)，得西南科技大學(xué)理學(xué)院 38 ( , ) ,( , ( , ) ) .p p x Cy f xdpdxp x C??從上式解出 , 若能求得解則（2 ）有通解這/ 里p = p ( x , C ) 只能代入y = f ( x , p ) , 不能代入y = p .西南科技大學(xué)理學(xué)院 39 ( , , ) 0 ,( , )( , , ) 0G p x Cy f x pGpdxxpdCp??????， 若只能從關(guān)于 的方程求得通積分則可通過聯(lián)立方程再消去 ，得到原方程的通積分。( , ) ,( , )( ( , ) , )x p Cx p Cyfdp C ppdx?????????參數(shù). (p 為參數(shù)) 若只能從關(guān)于 的方程求得解則 原方程有 形式的通解西南科技大學(xué)理學(xué)院 40 ??? ? ?求方程 的通解.222 ( )2xy x y y例 6 ? ? ??解 令 , 原方程寫為2/22 ( ) .2ypxy x p p( 1 2 ) 0 ,dppx dx? ? ?（）化簡(jiǎn)得1 .2dppxdx? ? ? ?或者2 2 2 ,d p d pp p x x pd x d xx? ? ? ?兩端關(guān)于 求導(dǎo)得西南科技大學(xué)理學(xué)院 41 222 ( )21.2xy x p ppxyx? ???? ? 將 代入方程得到特解222211,22112 ( ) ( )2 2 21.4dpp x Cdxxy x x C x Cx C x C? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?為 由方程 知于是原方程的通解西南科技大學(xué)理學(xué)院 42 ()()y x y y?????此方程稱為克萊洛方程求方程 的通解.例 7 /( ) .y x pypp????（3 ）解 令 , 原方程寫為( ) 0 ,dppx dx? ??/（）化簡(jiǎn)得///( ) ( ) 0 ,( ) ,pd p d pp p x pd x d xppx??????? 若 二次可微且 ( 3 ) 兩端關(guān)于 求導(dǎo)得西南科技大學(xué)理學(xué)院 43 0,( ) .dppCdxy C x C?????由 得到 從而有通解/ / /( ) 0 , ( )( ) ( ( ) ) .0( ) ,p x pp p xy x p x p x??? ? ? ????由于 則 存在隱函數(shù) 代入（3）即得到特解 //( ) 0( ) 0.()xpxpy x p p?????? ??????取 與（3 ）聯(lián)立有西南科技大學(xué)理學(xué)院 44 ()y x y y?????關(guān) 萊 們于克 洛方程 ，我 有( ) .y x C C???萊換數(shù)為/ （ 1） 克 洛方程的通解由原方程的y 成 任意常 得到，即/ ( ) 0.()xppy x p p??? ??????萊 為參數(shù)（ 為參數(shù)）（2 ）克 洛方程的特解 形式/ ( ) 0xp ???時(shí) 這個(gè)參數(shù) 稱為積線兩 關(guān) 導(dǎo) 此 ， 形式的特解又 方程的p 分曲 。而 可直接由（3） 端 于p求 得到。西南科技大學(xué)理學(xué)院 45 小 結(jié) /( , , ) 0F x y y ? （ 1）可解出 y 的方程 （ 2）可解出 x 的方程 （ 3）不含 x （或 y）的方程 ** 借助于一些變量代換 ，可將隱式形式的方程 化為顯式方程 。 /yp? ** 借助于一些變量代換，將隱式形式的方程 化為參數(shù)形式方程 。 西南科技大學(xué)理學(xué)院 46 作業(yè)： P46 （ 2）（ 4）（ 6） (8) (10
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1