常微分方程的數(shù)值解法-資料下載頁
2025-08-22 20:43本頁面
【正文】 是隱式的，需要解方程，通常用迭代法求解。如用外推法（）算出的值作為初始近似，然后相應(yīng)地用內(nèi)插法公式（）進(jìn)行迭代，即 （）若將（）記成的形式，容易算出 因此，當(dāng)h充分小時(shí)，可有 即迭代程序（）收斂，并且h越小，收斂越快。當(dāng)h選得適當(dāng)時(shí)，一般迭代二、三次即可得到滿足精度要求的yn+1值。 同理可導(dǎo)出一般的阿當(dāng)姆斯內(nèi)插公式。 為了提高精度，經(jīng)常把阿當(dāng)姆斯外推法與內(nèi)插聯(lián)合起來交替使用。例如 第一個(gè)方程的精度為0(h4)，用第二個(gè)方程迭代一次精度仍達(dá)0(h5)。這樣兩個(gè)方程交替使用可達(dá)較好的效果。第一個(gè)方程是預(yù)報(bào)方程，第二個(gè)方程是較正方程。 例9．6 解 先用前面講過的方法計(jì)算出表頭 y0 = 1； y1 = ； y2 = 再用（）的第一個(gè)式子計(jì)算出，最后用（）的第二個(gè)式子進(jìn)行迭代，得 y3 = 同樣，可算出y4及y5。167。4 解二階常微分方程邊值問題的差分法 考慮常微分方程的邊值問題： （）其中p(x)，q(x)和f (x)均為[a, b]上給定的函數(shù)，a，b為已知數(shù)。 邊值問題的主要特點(diǎn)是在兩個(gè)端點(diǎn)上給出了定解條件。在以下討論中我們總假定p(x)、q(x)及f (x)均為[a, b]上充分光滑的函數(shù)，且q(x)≤0，這時(shí)，邊值問題（）存在連續(xù)可微的解，且唯一。 用差分法解邊值問題的主要步驟是： （1）將區(qū)間[a, b]離散化； （2）在這些節(jié)點(diǎn)上，將導(dǎo)數(shù)差商化，從而把微分方程化為差分方程； （3）解差分方程――實(shí)際上就是解線代數(shù)方程組。 今將[a, b]區(qū)間用節(jié)點(diǎn) 分成N等分，其中x0 = a與xN = b稱為邊界點(diǎn)，而x1, x2, …, xN1稱為內(nèi)點(diǎn)。 再將y178。(x)，y’(x)在內(nèi)點(diǎn)x1處的值，y’(x)可表示為中心差商 （） 從而y178。 的中心差商為 （）略去上式中截?cái)嗾`差的階為0(h2)，并以近似值yi代替真值y(xi)，便得 同一、二階中心差商分別代替（）中的一、二階導(dǎo)數(shù)，則得逼近（）的差分方程 （） y0 = a，yN = b，i = 1，…，N – 1其中pi = p(xi)，qi = q(xi)，fi = f(xi)。經(jīng)過簡(jiǎn)單整理，（）可改寫成 （） 差分方程（）實(shí)際上是含有N – 1個(gè)未知數(shù)，y1,…, yN 1的線代數(shù)方程組。 最后，解差分方程（）就可得數(shù)值解yi。為此，令 ， （）則有 （） 這個(gè)方程組的系數(shù)矩陣是三對(duì)角矩陣，可以用追趕法求解。 試用差分法解方程 （）解 將[0, 1]劃分為四等分，即取，得五個(gè)節(jié)點(diǎn) （）的差分方程為 （）將它改寫成 （） 在每個(gè)內(nèi)點(diǎn)列方程得 （）由追趕法遞推公式解得： y3 = y2 = y1 = 習(xí)題 1．取步長(zhǎng)h = 試將計(jì)算結(jié)果與準(zhǔn)確解相比較。 2．取步長(zhǎng)h = ――庫(kù)塔方法解初值 并用前題比較結(jié)果。 3．取步長(zhǎng)h = ――庫(kù)塔方法解 4．下列各題先用龍格――庫(kù)塔法求表頭，然后用阿當(dāng)姆斯法繼續(xù)求以后各值 （1） （2） 5．用差分法求方程 的數(shù)值解（h = ） 6．求方程 的數(shù)值解（取h = ）。
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