常微分方程--第二章一階微分方程的初等解法(21-23)-資料下載頁
2024-12-08 09:04本頁面
【正文】 x y x y? 是方程 22( 3 4 ) ( 2 3 ) 0y x y d x x x y d y? ? ? ?的一個積分因子，并求其通解。 解： 對方程有 232 126 yxyxxuNyuM ???????對方程兩邊同乘以 2xy 后，再利用湊微分法 2 2 3 3 3 4 2( 3 4 ) ( 2 3 ) 0x y x y d x x y x y d y? ? ? ?2 2 3 3 3 4 23 2 4 3 0x y d x x y d y x y d x x y d y? ? ? ?3 2 2 2 3( ) 3 2d x y x y d x x y d y??4 3 3 3 4 2( ) 4 3d x y x y d x x y d y??∴ 通解為 : Cyxyx ?? 3423 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 從上面的例子可看出 ,當(dāng)確定了積分因子后 , 很容易求出其通解 ,但問題是 : (1) 積分因子是否一定存在 ? (2) 如何求積分因子 ? 這兩個問題是十分困難的問題 ,一般來說無法 給出答案 ,但對一些特殊的函數(shù)或方程是可以給出 一些充分條件的 . 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( , ) ( , )()( , )M x y N x yyxN x y?????因子得充要條件是 定理 有一個僅依賴 微分方程 0),(),( ?? dyyxNdxyxM的積分因子得充要條件是 : 于 x有關(guān)； x僅與 同理，方程有一個僅依賴于 的積分 y( , ) ( , )()( , )N x y M x yxyM x y?? ??? 僅與 y 有關(guān)。 證明 : 僅證第一部分 . 不妨設(shè)方程有僅依賴于 x的積分因子 , 即 ).(),( xyx ?? ? 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 由定理 , ,),()()(),(),()( x yxNxdx xdyxNy yxMx ?????? ???即 .),(),(),()(lnyxNxyxNyyxMdxxd ???????上式左端只與 x有關(guān) , 故右端也只能是 x 的函數(shù) . 反之 , 若方程的右端函數(shù)僅與 x 有關(guān) , 我們?nèi)? 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 當(dāng)微分方程不是全微分方程時，我們可以利用 x y定理 或 有關(guān)的積分因子。 ).),(),(),(e x p()( dxyxNxyxNyyxMx ? ???????易證上式就是方程的一個積分因子 ,故定理得證 . 例： 求微分方程 2( 2 ) ( ) 02 xxy y e d x y e d y? ? ? ?的通解。 解： 由于 2, xxMNy e eyx??? ? ?故它不是全微分方程。 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 由定理知，方程有一個僅與 利用積分因子的表達式 ( ) e xp( )MNyxu x dxN?? ???? ?得 ( ) e x p ( ) xu x d x e???對方程兩邊同乘以積分因子 xe 得 222( 2 ) ( ) 02x x x xy e y e d x y e e d y? ? ? ?又因為 1xxMN yeyxN y e?? ? ??? ??? 它與 y 無關(guān)。 x 有關(guān)的積分因子。 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 這是一個全微分方程。利用求積的方法 2200( , ) ( 2 ) ( 1 )2xyxxyF x y e y e d x y d y? ? ? ???2 2 22 12 2 2xxy y ye y e y y? ? ? ? ? ? ?故方程通解為 222xxy e y e c?? 注 : 積分因子是求解微分方程的一個重要方法 ,絕大多數(shù)方程的求解都可以通過這種方法來解決 .但是求一個微分方程的積分因子比較困難 ,需要靈活的方法和技巧 . 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 熟練記住下面的幾個方程和其對應(yīng)的積分因子 例如 : 當(dāng)一個微分方程中出現(xiàn) yd xx d y ?時 ,函數(shù) ,1xy ,12x 22 1 yx ?都有可能成為其積分因子 . ,0??? x y d xy d xx d y ,1xy,02 ??? dyxydxx d y ,12x,0)( 22 ???? dyyxy d xx d y 22 1 yx ?,02 ??? dyyydxx d y ,12y 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 . 求微分方程 0)2()3( 23 ???? dyxyxdxyx的通解 . 解 : 因為 ),21(2),(),( xyx yxNy yxM ???????所以方程不是全微分方程 . 將方程的左端重新分組得 : 0)()23( 23 ???? x d yy d xy d yxdxx因為 y d yxdxx 23 23 ?21x是 的積分因子 , 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 .023 2 ????xx dyy dxy dyx dx所以選擇 21x作為方程的積分因子 . 得 方程兩邊同時乘以 ,12x由此可以得方程的通解為 .23 22 Cxyyx ???注 : 這種分組法求積分因子可以加以推廣 . 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 設(shè)微分方程 () 左端可以分為兩組 , 即 .0)),(),(()),(),(( 2211 ???? dyyxNdxyxMdyyxNdxyxM其中第一組和第二組各有積分因子 ),(1 yx? 和 ),(2 yx?使得 ),()),(),()(,( 1111 yxdFdyyxNdxyxMyx ???).,()),(),()(,( 2222 yxdFdyyxNdxyxMyx ???由于對任意可微函數(shù) )(1 uG和 ),(2 uG)),((),( 111 yxFGyx? 是第一組的積分因子 , 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例： 求微分方程 3 2 4( 2 ) 0x y y d x x d y? ? ? 的通解。 解： 將方程左端分組 3 4 2( ) 2 0x y d x x d y y d x? ? ?31x前一組有積分因子 和通積分 xy c?后一組有積分因子 21y和通積分 cx?)),((),( 222 yxFGyx? 是第二組的積分因子 , 如果能選取的 )(1 uG和 ),(2 uG使得 )),((),()),((),( 222111 yxFGyxyxFGyx ?? ?則 )),((),(),(111 yxFGyxyx ?? ?就是方程的一個 積分因子 . 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 從而得原方程的積分因子為 用它乘原方程得 2512( ) 0() d x y d xx y x??所以方程的通解為 : 34221xyCx? ?外加特解 0x? 和 0y?我們要尋找可微函數(shù) 12GG和使 )(1)(1 2213 xGyxyGx ?只要取 52211)(1),(xxGxyyxG ??251yxu
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