常微分方程--第三章一階微分方程的解的存在定理(33-34)-資料下載頁
2025-01-20 04:56本頁面
【正文】 還有其它曲線判別曲線有時(shí)除包絡(luò)外?c注 : )(,0),( ?? cyx解 : 記 ,0)(32)(),( 32 ?????? cxcycyx則 ?????????????)(0)()()(0)(32)(232cxcycxcy得代入把為了消去 )()(,c0)(32)( 34 ???? cxcx即 例 1: 的包絡(luò) . 求曲線族 0)(32)( 32 ???? cxcy0]32)[()( 3 ???? cxcx,不是包絡(luò)容易驗(yàn)證 xy ?因此 c判別曲線包括兩條曲線 ()和 (), )(xy ?得從 0?? cx得從 032 ??? cx)(92?? xy0]32)[()( 3 ???? cxcx.92 是包絡(luò)而直線 ?? xyx y O 例 2: 求直線族 : 0s i nc o s ??? pyx ?? 的包絡(luò) . 這里 ? 是參數(shù) , p 是常數(shù) . 解 : 記 ,0s i nc o s),( ????? pyxyx ??? 則 ?????????.0c oss i n,0s i nc os????yxpyx消去參數(shù) ,? 得 .222 pyx ??0s i nc o s ??? pyx ?? 的 c判別曲線 : 經(jīng)驗(yàn)證 222 pyx ?? 是曲線族 0s i nc o s ??? pyx ??的包絡(luò) . 如圖 : O ?p x y 3 奇解 定義 2: 微分方程的某一解稱為 奇解 ,如果在這個(gè)解的每一點(diǎn)還有方程的另外一個(gè)解存在 . 注 :一階微分方程的通解的包絡(luò)一定是奇解 。反之微分方程的奇解 (若存在 )也是微分方程的包絡(luò) . 例如 : 的解為方程2)(22 xdxdyxdxdyy ???22 ,2xy c x c c? ? ? 為參數(shù) .42也是方程的解此外 xy ?.,2422因此它為奇解的包絡(luò)是通解 ccxxyxy ????4 奇解的求法 )(,0),( ?dxdyyxF方程 的奇解包含在由方程組 39。( , , ) 0( 3 . 3 4 )( , , ) 0pF x y pF x y p??? ??,0),( 之中而得到的曲線消去參數(shù) ?? yxp的此曲線稱為 )( .判別曲線?p.,尚需進(jìn)一步討論奇解判別曲線是否為方程的?p注 : .,),( 的連續(xù)可微函數(shù)是這里 pyxpyxF例 3: 求微分方程 0122????????? ydxdy 的奇解 . 解 : 從 ???????.02,0122pyp消去 p(實(shí)際上 p=0), 得到 p判別曲線 ,12 ?y即 .1??y為任常數(shù)ccxy ),s i n ( ??.,1 且正好是通解的包絡(luò)也是微分方程的解而 ??y由于方程的通解為 : .11 是方程的奇解和兩曲線 ??? yy三、克萊羅（ Clairaut）方程 1 定義 3: 形如 ????????dxdyfdxdyxy的方程， 稱為 克萊羅 (Clairaut)方程 . .)( 的連續(xù)可微函數(shù)是這里 ppf為求它的解 , 令 ,dxdyp ? 得 ).( pfxpy ??即得代入并以求導(dǎo)兩邊對(duì) , pdxdyx ?,)(39。 dxdppfpdxdpxp ???經(jīng)化簡 ,得 .0)](39。[ ?? pfxdxdp2 克萊羅 (Clairaut)方程的求解 ????????dxdyfdxdyxy這是 y已解出的一階微分方程 . 如果 ,0?dxdp則得到 .cp ? .0)](39。[ ?? pfxdxdp于是 , Clairaut方程的通解為 : ).( cfcxy ??如果 ,0)(39。 ?? pfx它與等式 )( pfxpy ?? 聯(lián)立 , 則得到 Clairaut方程的以 p為參數(shù)的解 : ???????)(0)(39。pfxpypfx 或 ???????)(0)(39。cfxcycfx 其中 c為參數(shù) . 消去參數(shù) p便得方程的一個(gè)解 . 結(jié)果 : Clairaut方程 ????????dxdyfdxdyxy的通解 )( cfcxy ?? 是一直線族 , 此直線族的包絡(luò) ???????)(0)(39。pfxpypfx 或 ???????)(0)(39。cfxcycfx是 Clairaut方程的奇積分曲線 , 所對(duì)應(yīng)的解是奇解 . 如果令 ,0)(),( ????? ycfxccyx則 ,0)(39。),(39。 ???? cfxcyxc因此 , 求得此解的過程正好與從通解中求包絡(luò)的手續(xù)一樣 . 易驗(yàn)證 , 此參數(shù)曲線恰為通解的包絡(luò) 例 4: 求解方程 .39。139。yxyy ??解 : 這是 Clairaut方程 , 因而它有通解 : .1ccxy ??其中 .39。1)39。(yyf ?因?yàn)? ,1)( ccf ?所以 .1)(39。 2ccf ??從 ?????????ccxycx1012中消去參數(shù) c, 得到原方程的奇解 : .42 xy ?x y O xy 42 ?.42 xy ?如圖 : 故 , 此方程的通解是直線族 : ,1ccxy ??而奇解是通解的包絡(luò)
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