【正文】 ）改寫(xiě)成 )t(Jhmgmdtdg 21 ????hmgmdtdh 43 ??其中 均為正常數(shù)。 4321 , mmmm（ ）是關(guān)于 g、 h的一階常系數(shù)微分方程組，因激素濃度不易測(cè)得，對(duì)前式再次求導(dǎo)化為： dtdJhmmgmmdtdgmdtgd4232122 ?????由于 Jgmdtdghm12 ????故 dtdJ)Jgmdtdg(mgmmdtdgmdtgd1432122 ????????或 dtdJJmg)mmmm(dtdg)mm(dtgd441324122 ?????? ( ) )mm(21 41 ??? , 324120 mmmm ??? , dtdJ)t(Jm)t(S4 ??令 則 ( )可簡(jiǎn)寫(xiě)成 )t(Sgdtdg2dtgd 2022 ??? ?? ( ) 其中 )mm(2141 ???, 324120 mmmm ??? , dtdJ)t(Jm)t(S4 ??設(shè)在 t = 0 時(shí)患者開(kāi)始被測(cè)試，他需在很短時(shí)間內(nèi)喝下一定數(shù)量 的外加葡萄糖水，如忽略這一小段時(shí)間，此后方程可寫(xiě)成 0gdtdg2dt gd 2022 ??? ?? ( ) （注：要考慮這一小段時(shí)間的影響可利 用 Dirac的 δ函數(shù)） ( )式具有正系數(shù)，且 當(dāng) t趨于無(wú)窮時(shí) g趨于 0，（體內(nèi)的葡萄 糖濃度將逐漸趨于平衡值），不難證 明 G將趨于 0Gg（ t） 的解有三種形式，取決于 2o2 ?? ? 的符號(hào)。 202 ?? ? ＜ 0時(shí)可得 )tc o s (Ae)t(g t ??? ?? ?(1)當(dāng) 其中 ?2? 220 ?? ? ，所以 )tc o s (AeG)t(G t0 ??? ??? ?() ( )式中含有 5個(gè)參數(shù)，即 、 A 、 α 、 和 δ，用下述方法可以確定它們的值。在外加葡萄糖水喝入前患者血糖濃度應(yīng)為 （檢查前患者是禁食的） ,可先作一次測(cè)試將其測(cè)得。 0G 0?0G進(jìn)而，取 t = ( i = 4)各測(cè)一次，將測(cè)得的值代入（ ），得到一個(gè)方程組，由此可解得相應(yīng)的參數(shù)值。一般，為了使測(cè)得的結(jié)果更準(zhǔn)確，可略多測(cè)幾次，如 測(cè) 56次，再根據(jù)最小平方誤差來(lái)求參數(shù)，即求解 itmin ???? ? 2it0i )]}tc os (AG[G{ i ???解出所需的參數(shù) 當(dāng) ≥ 0時(shí)可類(lèi)似加以討論。 實(shí)際計(jì)算時(shí)不難發(fā)現(xiàn)， G的微小誤差會(huì)引 起 α的很大偏差，故任一包含 α的診斷標(biāo)準(zhǔn)都將是不可靠的。同時(shí)也可發(fā) 現(xiàn) G對(duì) 并不十分敏感（計(jì)算結(jié)果與實(shí)際值相差較?。?，故可用 的測(cè)試結(jié)果作為 GTT檢測(cè)值來(lái)判斷此人是否真的患有輕微的糖尿病。為了判斷上的方便，一般利用所謂自然周 期 T作為判別標(biāo)準(zhǔn) 202 ?? ?0? 0?02T???根據(jù)人們的生活習(xí)慣，兩餐之間的間隔時(shí)間大體 為 4小時(shí)。臨床應(yīng)用顯示， 在 T ＜ 4（ 小時(shí) ）時(shí)一般表示為正常情況，當(dāng) T 明顯大于 4小時(shí)時(shí)一般表示此人的確患有輕微的糖尿病。 由于內(nèi)分泌激素濃度不易測(cè)量，在上面的建模過(guò)程中對(duì)各種不同激素未加以一一區(qū)別，即對(duì)其采用了集中參數(shù)法。這樣做雖大大簡(jiǎn)化了模型，但也在一定程度上影響了模型的應(yīng)用效果。臨床應(yīng)用時(shí)發(fā)現(xiàn)，在患者飲下葡萄糖水大 約 35小時(shí)后，測(cè)得的數(shù)據(jù)有一定的偏差，其原因可能是內(nèi)分泌激素的作用造成的，因而，要得到更精確的結(jié)果，當(dāng)然要考慮到內(nèi)分泌激素濃度的變化，建立更精確的模型。羅德島醫(yī)院已找到一種測(cè)量?jī)?nèi)分泌濃度的方法，相信在此基礎(chǔ)上一定可以設(shè)計(jì)出診斷輕微糖尿病的更好方法。 167。 穩(wěn)定性問(wèn)題 在研究許多實(shí)際問(wèn)題時(shí)，人們最為關(guān)心的也許并非系統(tǒng)與時(shí)間有關(guān)的變化狀態(tài)，而是系統(tǒng)最終的發(fā)展趨勢(shì)。例如，在研究某頻危種群時(shí)，雖然我們也想了解它當(dāng)前或今后的數(shù)量，但我們更為關(guān)心的卻是它最終是否會(huì)絕滅，用什么辦法可以拯救這一種群，使之免于絕種等等問(wèn)題。要解決這類(lèi)問(wèn)題，需要用到微分方程或微分方程組的穩(wěn)定性理論。在下兩節(jié)，我們將研究幾個(gè)與穩(wěn)定性有關(guān)的問(wèn)題。 一般的微分方程或微分方程組可以寫(xiě)成： ( , )dx f t xdt ?定義 稱(chēng)微分方程或微分方程組 為自治系統(tǒng)或動(dòng)力系統(tǒng)。 ()dx fxdt ?（ ） 若方程或方程組 f(x)=0有解 Xo， X=Xo顯然滿(mǎn)足（ ）。 稱(chēng)點(diǎn)Xo為微分方程或微分方程組（ )的平衡點(diǎn)或奇點(diǎn)。 例 7 本章第 2節(jié)中的 Logistic模型 ()dN k K N Ndt ?? 共有兩個(gè)平衡點(diǎn)： N=0和 N=K，分別對(duì)應(yīng)微分方程的兩兩個(gè)特殊解。前者為 No=0時(shí)的解而后者為 No=K時(shí)的解。 當(dāng) NoK時(shí)，積分曲線(xiàn) N=N(t)位于 N=K的下方；當(dāng) NoK時(shí)，則位于 N=K的上方。從圖 317中不難看出，若 No0，積分曲線(xiàn)在 N軸上的投影曲線(xiàn)（稱(chēng)為軌線(xiàn)）將趨于 K。這說(shuō)明，平衡點(diǎn)N=0和 N=K有著極大的區(qū)別。 圖 317 定義 1 自治系統(tǒng) 的相空間是指以（ x1,…, xn）為坐標(biāo) 的空間 Rn。 ()dx fxdt ? 特別，當(dāng) n=2時(shí)，稱(chēng)相空間為相平面。 空間 Rn的點(diǎn)集 {(x1,…, xn)}|xi=xi(t)滿(mǎn)足 ()， i=1,…, n}稱(chēng)為系統(tǒng)的軌線(xiàn)，所有軌線(xiàn)在相空間的分布圖稱(chēng)為相圖。 定義 2 設(shè) x0是（ ）的平衡點(diǎn)，稱(chēng)： （ 1） x0是穩(wěn)定的，如果對(duì)于任意的 ε 0，存在一個(gè) δ 0，只要 |x(0) x0|δ ，就有 |x(t) x0|ε 對(duì)所有的 t都成立。 （ 2） x0是漸近穩(wěn)定的，如果它是穩(wěn)定的且 。 0l im ( ) 0t x t x?? ?? 微分方程平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性除了幾何方法，還可以通過(guò)解析方法來(lái)討論，所用工具為以下一些定理。 （ 3） x0是不穩(wěn)定的，如果（ 1）不成立。 根據(jù)這一定義， Logistic方程的平衡點(diǎn) N=K是穩(wěn)定的且為漸近穩(wěn)定的，而平衡點(diǎn)N=0則是不穩(wěn)定的。 解析方法 定理 1 設(shè) xo是微分方程 的平衡點(diǎn)： )( xfdtdx ?0)(39。 ?oxf若 ,則 xo是漸近穩(wěn)定的 39。( ) 0ofx ?若 ,則 xo是漸近不穩(wěn)定的 證 由泰勒公式，當(dāng) x與 xo充分接近時(shí)，有： ? ?( ) ( ) 39。( ) ( )o o o of x f x f x x x o x x? ? ? ? ? 由于 xo是平衡點(diǎn)，故 f(xo)=0。若 ，則當(dāng) xxo時(shí)必有 f(x)0，從而 x單增；當(dāng) xxo時(shí)，又有f(x)0，從而 x單減。無(wú)論在哪種情況下都有 x→ xo，故 xo是漸進(jìn)穩(wěn)定的。 0)(39。 ?oxf的情況可類(lèi)似加以討論。 39。( ) 0ofx ?高階微分方程與高階微分方程組平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性討論較為復(fù)雜，大家有興趣可參閱微分方程定性理論。為了下兩節(jié)的需要，我們簡(jiǎn)單介紹一下兩階微分方程組平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性判別方法。 考察兩階微分方程組： 112212( , )( , )dxf x xdtdxg x xdt?????? ???（ ） 令 ，作一坐標(biāo)平移，不妨仍用 x記 x’，則平衡點(diǎn) xo的穩(wěn)定性討論轉(zhuǎn)化為原點(diǎn)的穩(wěn)定性討論了。將 f(x1,x2)、 g(x1,x2)在原點(diǎn)展開(kāi)，（ ）又可寫(xiě)成 : oxxx ??39。121239。 39。 2 211 2 1 239。 39。 2 221 2 1 2( 0 , 0 ) ( 0 , 0 ) ( )( 0 , 0 ) ( 0 , 0 ) ( )xxxxdx f x f x o x xdtdx g x g x o x xdt? ? ? ? ????? ? ? ? ???考察（ ）的線(xiàn)性近似方程組 : 1 12212dxax bxdtdxc x dxdt? ?????? ????（ ） 其中： 139。 (0 , 0)xaf?239。 (0, 0)xbf?139。 (0 , 0)xcg? 239。 (0 , 0)xdg?記 abA cd??? ???? λ λ2為 A的特征值則 λ λ2是方程： det（ AλI） =λ2 (a+b) λ+ (ad – bc )=0的根 令 p=a+d, q=adbc=|A|，則 ，記 。 21 , 21 ( 4 )2 p p q? ? ? ?2 4pq? ? ?討論特征值與零點(diǎn)穩(wěn)定的關(guān)系 （ 1）若△ 0，可能出現(xiàn)以下情形： ① 若 q0， λ1λ20。 當(dāng) p0時(shí)， 零點(diǎn)不穩(wěn)定； 當(dāng) p0時(shí)，零點(diǎn)穩(wěn)定 ② 若 q0， λ 1λ 20 當(dāng) c1=0時(shí)，零點(diǎn)穩(wěn)定 當(dāng) c1≠0 時(shí) ,零點(diǎn)為不穩(wěn)定的鞍點(diǎn) ③ q=0，此時(shí) λ1=p， λ2=0，零點(diǎn)不穩(wěn)定。 （ 2） △ =0，則 λ1=λ2: ① λ有兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量 當(dāng) p0時(shí)，零點(diǎn)不 穩(wěn)定 當(dāng) p0時(shí)，零點(diǎn)穩(wěn)定 ② 如果 λ只有一個(gè)特征向量 當(dāng) p≥0時(shí)，零點(diǎn)不 穩(wěn)定 當(dāng) p0時(shí)，零點(diǎn)穩(wěn)定 （ 2） △ 0， 此時(shí) ?? ia ??2,1)2,2( ???? ?pa若 a0，零點(diǎn)穩(wěn)定 若 a=0，有零點(diǎn)為中心的周期解 綜上所述：僅當(dāng) p0且 q0時(shí)， （ ）零點(diǎn)才是漸近穩(wěn)定的；當(dāng) p=0且 q0時(shí)（ ）有周期解，零點(diǎn)是穩(wěn)定的中心（非漸近穩(wěn)定）；在其他情況下，零點(diǎn)均為不穩(wěn)定的。 非線(xiàn)性方程組（ ）平衡點(diǎn)穩(wěn)定性討論可以證明有下面定理成立 : 定理 2 若（ ）的零點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的，則（ ）的平衡點(diǎn) 也是漸近穩(wěn)定的；若（ ）的零點(diǎn)是不穩(wěn)定的，則（ ） 的平衡點(diǎn)也是不穩(wěn)定的。 167。 捕食系統(tǒng)的 Volterra方程 問(wèn)題背景： 意大利生物學(xué)家 D’Ancona曾致力于魚(yú)類(lèi)種群相互制約關(guān)系的研究，在研究過(guò)程中他無(wú)意中發(fā)現(xiàn)了一些第一次世界大戰(zhàn)期間地中海沿岸港口捕獲的幾種魚(yú)類(lèi)占捕獲總量百分比的資料，從這些資料中他發(fā)現(xiàn)各種軟骨掠肉魚(yú)，如鯊魚(yú)、鰩魚(yú)等我們稱(chēng)之為捕食者（或食肉魚(yú)）的一些不是很理想的魚(yú)類(lèi)占總漁獲量的百分比。在 1914~1923年期間，意大利阜姆港收購(gòu)的魚(yú)中食肉魚(yú)所占的比例有明顯的增加： 年代 1914 1915 1916 1917 1918 百分比 年代 1919 1920 1921 1922 1923 百分比 他知道，捕獲的各種魚(yú)的比例近似地反映了地中海里各種魚(yú)類(lèi)的比例。戰(zhàn)爭(zhēng)期間捕魚(yú)量大幅下降，但捕獲量的下降為什么會(huì)導(dǎo)致鯊魚(yú)、鰩魚(yú)等食肉魚(yú)比例的上升，即對(duì)捕食者有利而不是對(duì)食餌有利呢？他百思不得其解，無(wú)法解釋這一現(xiàn)象，就去求教當(dāng)時(shí)著名的意大利數(shù)學(xué)家 ，希望他能建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型研究這一問(wèn)題。 Volterra將魚(yú)劃分為兩類(lèi)。一類(lèi)為食用魚(yú)（食餌），數(shù)量記為 x1(t)，另一類(lèi)為食肉魚(yú)（捕食者），數(shù)量記為 x2(t)，并建立雙房室系統(tǒng)模型。 模型建立 大海中有食用魚(yú)生存的足夠資源，可假設(shè)食用魚(yú)獨(dú)立生存將按增長(zhǎng)率為 r1的指數(shù)律增長(zhǎng)（ Malthus模型），既設(shè)： 111dx rxdt ??? ????? 由于捕食者的存在，食用魚(yú)數(shù)量因而減少，設(shè)減少的速率與兩者數(shù)量的乘積成正比（競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)的統(tǒng)計(jì)籌算律），即： 11 1 2dx xxdt ??? ????? 出對(duì)于食餌 （ Prey）系統(tǒng) ： λ 1反映了捕食者掠取食餌的能力 對(duì)于捕食者 （ Predator）系統(tǒng) ： 捕食者設(shè)其離開(kāi)食餌獨(dú)立存在時(shí)的死亡率為 r2，即： 22