【正文】 f。 n=1。%n為迭代次數(shù) while norm(sx0)=err n=n+1 x0=s。 s=B*x0+f。 s39。 end n 1 2 31 2 31 2 39710 815 13x x xx x xx x x? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ??A=[9 1 1。1 10 1。1 1 15]。 b=[7。8。13]。 x0=[0。0。0]。 err=。 s=jacobi(A,b,x0,err) 結(jié)果： n 1 2 3 4 5 6 7 例 三、 GaussSeidel 迭代法 對(duì)于 Ax = b 22( 1 ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 2 111( 1 ) ( ) ( ) ( )2 2 2 1 1 2 2( 1 ) ( ) ( ) ( )1 1 2 21( 0 ...... .... )1( 0 ...... .... )1( ...... .... 0 )k k k knnk k k knnk k k kn n n n nnnx b x a x a xax b a x x a xax b a x a x xa????? ? ? ? ????? ? ? ? ??????? ? ? ? ???L L L L L L L L L L L L LJacobi迭代公式為 (k=0,1,2,…) (4) ( 1 ) ( )1nkki i i j j i ij j ix b a x a????????????( 1 ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 2 111( 1 ) ( 1 ) ( ) ( )2 2 2 1 1 2 222( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( )1 1 2 21 01 0 1 0k k k knnk k k knnk k k kn n n n nnnx b x a x a xax b a x x a xax b a x a x xa???? ? ????? ? ? ? ???????? ? ? ? ??????? ? ? ? ??????????與 （ 4） 對(duì)應(yīng)的迭代公式為： —— GaussSeidel迭代法 1( 1 ) ( 1 ) ( )11ink k ki i i j j i j j i ij j ix b a x a x a???? ? ???? ? ???????(5) 法 1： 法 2： Ax = b A=D+L+U (D+L) x = U x + b = 迭代公式： x(k+1) = BGS x(k)+ f , (k=0,1,2…) 11( ) ( )x D L U x D L b??? ? ? ? ? ?( 1 ) 1 ( ) 1( ) ( )kkx D L U x D L b? ? ?? ? ? ? ? ?11( ) , ( )GSB D L U f D L b??? ? ? ? ? ? ?L U D 編寫實(shí)現(xiàn) Seidel迭代法的函數(shù) : function s=seidel(a,b,x0,err) % seidel迭代法求解線性方程組， a為系數(shù)矩陣， b為%ax=b右邊的 %矩陣 b,x0為迭代初值， err為迭代誤差 if nargin==3 err=。 elseif nargin3 error return end D=diag(diag(a))。%構(gòu)造對(duì)角陣 D L=tril(a,1)。%構(gòu)造嚴(yán)格下三角陣 U=triu(a,1)。%構(gòu)造嚴(yán)格上三角陣 C=inv(D+L)。 B=C*U。 f=C*b。 n=1%n為迭代次數(shù) s=B*x0+f while norm(sx0)=err n=n+1 x0=s。 s=B*x0+f。 s39。 end n 1 2 31 2 31 2 39710 815 13x x xx x xx x x? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ??A=[9 1 1。1 10 1。1 1 15]。 b=[7。8。13]。 x0=[0。0。0]。 err=。 s=seidel(A,b,x0,err) 結(jié)果： n 1 2 2 3 4 例 發(fā)現(xiàn)： seidel收斂速度比 jacobi快 — 松弛因子， =1 即 Seidel方法 (5) (6)是一種加權(quán)平均。 1( 1 ) ( ) ( 1 ) ( )111( 1 )ink k k ki i i i j j i j jj j iiix x b a x a xa?????? ? ???? ? ? ? ? ?????????四 、 超松弛迭代法 (SOR法 ) ( 1 , 2 , , ) (6)in?法 1 SOR方法的收斂性如下（不加證明）： (1)SOR方法對(duì)任意 都收斂的必要條件是： (2)若系數(shù)矩陣 A對(duì)稱正定 ， 則 時(shí) SOR方法 求解 對(duì)任意 收斂； (3)若系數(shù)矩陣 A按行 （ 或按列 ） 嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu) ， 則 時(shí) SOR方法對(duì)任意 收斂 。 02???Ax b? (0)x01???02???(0)x(0)x( 1 ) ( 1 ) 1 ( 1 ) ( )( 1 ) ( )k k k kx x D b L x U x??? ? ? ?? ? ? ? ?法 2： SOR法的矩陣迭代格式： ( 1 ) ( )kkx B x f??? ? ?11( ) [ ( 1 ) ] , ( )B D L D U f D L b? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?1( 1 ) ( ) ( 1 ) ( )111( 1 )ink k k ki i i i j j i j jj j iiix x b a x a xa?????? ? ???? ? ? ? ? ???????編寫實(shí)現(xiàn) SOR迭代法的函數(shù) : function s=SOR(a,b,x0,w,err) % seidel迭代法求解線性方程組， a為系數(shù)矩陣， b為%ax=b右邊的 %矩陣 b,x0為迭代初值， w為松弛因子，%err為迭代誤差 if nargin==4 err=。 elseif nargin4 error return end D=diag(diag(a))。%構(gòu)造對(duì)角陣 D L=tril(a,1)。%構(gòu)造嚴(yán)格下三角陣 U=triu(a,1)。%構(gòu)造嚴(yán)格上三角陣 C=inv(D+w*L)。 B=C*[(1w)*Dw*U]。 f=w*C*b。 n=1 %n為迭代次數(shù)s=B*x0+f while norm(sx0)=err n=n+1 x0=s。 s=B*x0+f。 s39。 end n 1 2 31 2 31 2 39710 815 13x x xx x xx x x? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ??A=[9 1 1。1 10 1。1 1 15]。 b=[7。8。13]。 x0=[0。0。0]。 err=。 w=。 s=seidel(A,b,x0,w,err) 結(jié)果： n 1 2 3 4 5 6 例 發(fā)現(xiàn)： SOR收斂速度比 jacobi快 167。 不可解問題 線性方程組并不總是數(shù)值可解的，考慮如下三 個(gè)方程組。 121212121212121()2 2 21()022( ) 120xxAxxxxBxxxxC x xxx? ? ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? ???? ? ??????在 MATLAB中分別求解如下： ( ) [ 1 , 1 。 2 , 2 ] \ [ 1 。 2 ]wa r n i n g : M a t r i x i s si n g u l a r t o worki n g p r e c i si o n . a n s= [ 1 , 1 ] \ [ 1 ]a n s 10( ) [ 1 , 1 。 1 , 1 ] \ [ 1 。 0 ]wa r n i n g : M a t r i x i s si n g u l a r t o worki n g p r e c i si o n . a n s= ()ABC???????????若 僅 求 解 第 一 個(gè) 方 程 ：[ 1 , 2 。 1 , 1 。 2 , 1 ] \ [ 2 。 1 。 0 ]a n s? ? ?＝ 有無窮多個(gè)解 其中一個(gè)解 方程組不相容 最小二乘解 167。 病態(tài)問題 有許多線性方程組理論上是可解的，但實(shí)際計(jì)算中由于受到舍入誤差的干擾而無法得到精確解，此類問題稱為 病態(tài)問題 。 病態(tài)矩陣的一個(gè)重要標(biāo)志是條件數(shù) 矩陣 A的條件數(shù)記為 Cond(A)，定義為： 1()Cond A A A ???條件數(shù)總滿足： ( ) 1C on d A ?注：當(dāng)矩陣是病態(tài)時(shí)，其條件數(shù)一定很大，但并不能直接說明解的誤差。 MATLAB中計(jì)算條件數(shù)的命令是： cond(A) 對(duì)于病態(tài)矩陣，逆矩陣和行列式的計(jì)算都會(huì)變得不精確。所以具備下列特征的問題可認(rèn)為是病態(tài)的： 11 d e t( ) * d e t( ) 12 ( ( ) ) 。( 3 ) * ( )4 ( * ( ) ) 1 * ( )AAinv inv A AA inv Ac o n d A inv A A inv A?（ ） 的 計(jì) 算 值 與 有 較 大 偏 離 ；（ ） 的 計(jì) 算 值 明 顯 不 等 于的 計(jì) 算 值 與 單 位 矩 陣 有 較 大 偏 離 ；（ ） 與 的 偏 離 可 作 為與 單 位 陣 的 偏 差 的 精 確 度 量 。下面以一個(gè) 4階 hilbert矩陣為例，看看病態(tài)矩陣對(duì)線性方程組解的影響： ans= ans = +004 +005 +007 +008 +010 A=hilb(4)。 b=[1 2 2]39。 b1=[1 2 2]39。 A\bA\b1 for k=3:8 H=hilb(k)。 cond(H) end