【正文】 個(gè) 基礎(chǔ)解系 ，如果 ? 方程組 (1)的任一個(gè)解都能表成 的線性組合； ? 線性無(wú)關(guān) t??? , 21 ?t??? , 21 ?t??? , 21 ?齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系 基礎(chǔ)解系的存在性、求法 ? 定理 10 在齊次線性方程組有非零解的情況下，它有基礎(chǔ)解系，并且基礎(chǔ)解系所含解的個(gè)數(shù)等于 nr， 這里 r表示系數(shù)矩陣的秩（以下將看到， nr也就是自由未知量的個(gè)數(shù)） ? 證明 設(shè)方程組（ 1）的系數(shù)矩陣的秩為 r， 進(jìn)行初等行變換，得到 . 1 1 1 2 1 12 2 2 20000 0 0 00 0 0 00 0 0 0rnrnr r r nc c c cc c cccA?????????????????????行 初 等 變 換11 1 12 2 1 1 , 1 1 122 2 2 2 , 1 1 2, 1 1000r r r r n nr r r r n nrr r r r r rn nc x c x c x c x c xc x c x c x c xc x c x c x??????? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ????? ? ? ? ??ric ii ,2,1,0 ???nr?對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組是 其中 確定 個(gè)自由未知量 ， 把它改寫(xiě)成 11 1 12 2 1 1 , 1 1 122 2 2 2 , 1 1 2, 1 1r r r r n nr r r r n nrr r r r r rn nc x c x c x c x c xc x c x c x c xc x c x c x??????? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ????? ? ? ? ??? 如果 r=n,則方程組沒(méi)有自由未知量只有零解 . ? 以下設(shè) rn. 我們知道，把自由未知量的任意一組值 代入（ 3），就唯一地得到方程組（ 1）的一組解。換句話說(shuō)，方程組（ 1）的任意兩個(gè)解，只要自由未知量的值一樣，這兩個(gè)解就完全一樣 ),( 1 nr cc ?? 在（ 3）中我們分別用 nr組數(shù) (1,0,…,0),(0,1,…,0),…,(0,0,…,1) （ 4） 來(lái)代自由未知量，就得出（ 3） —— 也就是方程組（ 1）的 nr個(gè)解： （ 5） 1 1 , 1 , 12 1 , 2 , 21 , ,( , , , 1 , 0 , , 0)( , , , 0 , 1 , , 0)( , , , 0 , 0 , , 1 )r r rr r rn r n r nlllcll???????????????? ?? 我們現(xiàn)在證明（ 5）就是一個(gè)基礎(chǔ)解系 . 首先證明 線性無(wú)關(guān) . rn ???? , 21 ?事實(shí)上 ，因?yàn)椋?4）線性無(wú)關(guān)， 而（ 5）為向量組（ 4）添加 r個(gè)分量得到的， 所以（ 5）也線性無(wú)關(guān)。 再證 (1)的任意一個(gè)解可以由 線性表出 。 設(shè) (6) 是（ 1）的一個(gè)解。由于 是（ 1）的解，所以線性組合 （ 7） 也是（ 1）的一個(gè)解。比較（ 7）和（ 6）最后 nr個(gè)分量完全相同，所以有 rn ???? , 21 ?),,( 211 nrrr ccccc ?? ????rnnrr ccc ??? ??? ??? ?2211nnrr ccc ???? ???? ?? ?2211rn ???? , 21 ? 這就是說(shuō)，任意一個(gè)解 都可以表示成 的線性組合。 至于其他的基礎(chǔ)解系，由定義知，一定與這個(gè)基礎(chǔ)解系等價(jià)，同時(shí)它們又都是線性無(wú)關(guān)的，因而含有相同的個(gè)數(shù)，這就證明了定理的第二部分， ? 任意一個(gè)線性無(wú)關(guān)的與某一個(gè)基礎(chǔ)解系等價(jià)的向量組是基礎(chǔ)解系 . ?rn ???? , 21 ?例 求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系 1 2 3 41 2 3 41 2 3 402 5 3 2 07 7 3 0x x x xx x x xx x x x? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ??1 2 3 4 51 2 3 4 51 2 3 4 51 2 3 4 53 8 2 02 2 3 7 2 011 12 34 5 05 2 16 3 0x x x x xx x x x xx x x x xx x x x x? ? ? ? ???? ? ? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??例 2 求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系． 例 3 求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系 1 2 3 4 51 2 3 4 51 2 3 51 2 3 4 502 2 3 02 3 03 3 2 4 2 0x x x x xx x x x xx x x xx x x x x? ? ? ? ???? ? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ? ??非齊次線性方程組 ? 非齊次線性方程組有解的判定 ? 非齊次線性方程組的導(dǎo)出組 ? 非齊次線性方程組解的表示 ? 設(shè)線性方程組為： （ 1） ? 引入向量 ???????????????????snsnssnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa?????22112222212111212111非齊次線性方程組有解的判定 于是線性方程組（ 1）可以改寫(xiě)成向量方程 顯然，線性方程組（ 1）有解的充分必要條件為向量 可以表成向量組 的線性組合。 ????????????????????????????????????????????????????????????ssnnnnssbbbaaaaaaaaa?????2121222122121111, ???????? ???? nnxxx ?2211?n??? , 21 ?? 線性方程組（ 1）有解的充分必要條件為它的系數(shù)矩陣 與增廣矩陣 有相同的秩。 ???????????????snssnnaaaaaaaaaA???????212222111211???????????????ssnssnnbbbaaaaaaaaaA????????21212222111211? 證明 先證 必要性 ，設(shè)線性方程組（ 1）有解，即 可以由向量組 線性表出。由此立即推出，向量組 與向量組 等價(jià)，因而有相同的秩。 這兩個(gè)向量組分別是矩陣 A與 的列向量組。因此，矩陣 A與 有相同的秩。 ?n??? , 21 ?n??? , 21 ????? , 21 n?AA 充分性 . 設(shè)矩陣 A與 有相同的秩，就是說(shuō)，它們的列向量組 與 有相同的秩， 令它們的秩為 r. 中的極大線性無(wú)關(guān)組是由 r個(gè)向量組成，不妨設(shè) 是它的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組， n??? , 21 ????? , 21 n?An??? , 21 ?r??? , 21 ? 顯然 也是向量組 的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，因此向量 可經(jīng)向量組 線性表出。也即 可經(jīng) 線性表出。因此，方程組（ 1）有解 . ? 在消元法中將 化為上階梯陣的情形： 當(dāng)且僅當(dāng) ，即 A與 有相同的秩 時(shí)，方程組有解 . r??? , 21 ????? , 21 n??r??? , 21 ??n??? , 21 ?AA01 ??rd ????????????????????????????00000000000000001222221111211???????????????????????????rrrnrrnrnrddccdcccdccccA非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu) ? 非齊次線性方程組解的性質(zhì) ? 導(dǎo)出組 ? 特解 ? 下面討論一般的線性方程組： （ 9） ? 齊次方程組（ 1）稱為方程組（ 9）的 導(dǎo)出組 。 ???????????????????snsnssnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa?????22112222212111212111?（ 9）的兩個(gè)解的差是它的導(dǎo)出組 （ 1）的解； ?（ 9）的一個(gè)解與它的導(dǎo)出組 (1)的 一個(gè)解之和還是這個(gè)線性方程組的 一個(gè)解 . 非齊次方程組解的結(jié)構(gòu) ? 定理 8 如果 是方程組（ 9）的一個(gè)特解，那么方程組（ 9）的任意解可以表成 （ 10） 其中 是導(dǎo)出組（ 1）的一個(gè)解。因此，對(duì)于方程組（ 9）的任一個(gè)特解 ，當(dāng) 取遍它的導(dǎo)出組的全部解時(shí)，（ 1）就給出（ 9）的全部解。 ? 證明 顯然 由上面的性質(zhì) 1， 是導(dǎo)出組（ 1）的一個(gè)解，令 0?0???