第5章解線性方程組的直接法-資料下載頁
2025-07-23 09:40本頁面
【正文】 jktjtkntk1k 1j jkijik ?? ?????? ??? ll令 rk?ri 相當(dāng)于取 ????? 1k 1j jkijikkk uau l為第 k步分解的主元素 . 但要注意方程組的常數(shù)項也要相應(yīng)變換 . 泰山學(xué)院 信息科學(xué)技術(shù)系 Department of Information Science and Technology, Taishan College 定義 ： 設(shè) ‖?‖是一種向量范數(shù) AxxAxAxRxxRx nn 1,0,s u ps u p??????稱之為由向量范數(shù)派生的 矩陣算子范數(shù) . 矩陣范數(shù)和條件數(shù) 定義 設(shè) ‖ ?‖ 是以 n階方陣為變量的實值函數(shù) ,且滿足條件 : (1)非負(fù)性 : ‖ A‖?0 ,且 ‖A‖=0當(dāng)且僅當(dāng) A=0 (2)齊次性 : ‖ ?A‖=|? |‖A‖, ??R (3)三角不等式 :‖ A+B‖?‖A‖+‖B‖ (4)三角不等式 :‖ AB‖?‖A‖‖B‖ 則稱 ‖ A‖ 為矩陣 A的 范數(shù) . 泰山學(xué)院 信息科學(xué)技術(shù)系 Department of Information Science and Technology, Taishan College 對應(yīng)于 3種常見的向量范數(shù)，有 3種矩陣范數(shù) ?????niijnj aA111m a x列和的最大值 ??????njijni aA11m a x行和的最大值 12??A是 ATA的最大特征值，也稱為譜范數(shù) 1?矩陣范數(shù)的一些性質(zhì)： ① ② ③ ④ ⑤ 00, amp。 ,0 ???? AAARAA ???? ??? ,nRBABABA ????? , , nRBABAAB ???? , , nRxxAAx ???? ,泰山學(xué)院 信息科學(xué)技術(shù)系 Department of Information Science and Technology, Taishan College 定理： 若 ? 為 A 的特征值，則 A??證： xAx ????xAx ????xAxAxx ??????? ??????xxAAx為 A的特征值 證畢 定義 ： 譜半徑 rnrA ?? ??? 1m a x)(易知： AA ?)(?泰山學(xué)院 信息科學(xué)技術(shù)系 Department of Information Science and Technology, Taishan College 條件數(shù)和病態(tài)矩陣 定義 ：（條件數(shù)） ppp AAAC o n d1)( ??? p?表示某種范數(shù) 設(shè) bAx ? ， A 引入誤差 后 A? ，解引入誤差 x? ，則 bxxAA ??? ))(( ??xAxAAxbxAA ????????? ???? )( xAAAx ???? ? ??? 1)(AAAxx ??? 1)( ???AAAAI ?? 111 )( ?????? ? 111 )()( ??? ??? AAAAIA ??泰山學(xué)院 信息科學(xué)技術(shù)系 Department of Information Science and Technology, Taishan College AAAAI ?? ???? ??? 111 )(AAAAI ?? 111 )( ??? ???注意到 BBI ????11)( 1因為： BDDDBIIBID ???????? ? )(1 )( 1)1( BDDBD ?????泰山學(xué)院 信息科學(xué)技術(shù)系 Department of Information Science and Technology, Taishan College AAAAxx??? 1111 ???????AAAAAAAAAAAA????????????????111111條件數(shù) 很小 AAAA??? ? 1條件數(shù)表示了對 誤差的放大率 泰山學(xué)院 信息科學(xué)技術(shù)系 Department of Information Science and Technology, Taishan College 同樣，類似有 bbAAxxbxAbbxxA???????????????? 1)( 泰山學(xué)院 信息科學(xué)技術(shù)系 Department of Information Science and Technology, Taishan College 注： 一般判斷矩陣是否病態(tài)，并不計算 A?1，而由經(jīng)驗得出。 ? 行列式很大或很?。ㄈ缒承┬?、列近似相關(guān)）； ? 元素間相差大數(shù)量級，且無規(guī)則； ? 主元消去過程中出現(xiàn)小主元； ? 特征值相差大數(shù)量級。 精確解 為 .11?????????x?例 ??????????????????, bA ?計算 cond (A)2 。 ???????? ?? 1 00 009 90 0 9 90 09 80 0A?1 = 泰山學(xué)院 信息科學(xué)技術(shù)系 Department of Information Science and Technology, Taishan College 解： 考察 A 的特征根 ??? 0)d e t ( AI?0 0 0 0 5 0 5 0 9 8 0 0 5 0 5 0 21 ???????212)( ??Ac o n d 39206 1 ? 測試病態(tài)程度： 給 一個擾動 b???????????????34?? ，其相對誤差為 %|||| |||| 422 ??? ?bb? ?? 此時 精確解 為 ?????????? 0 2 0 3*x????????????? 2* xxx ???? ??22||||||||xx??? 200% 為對稱矩陣
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