數(shù)值分析--第6章解線性方程組的迭代法-資料下載頁(yè)
2025-08-23 01:55本頁(yè)面
【正文】 由已知，則，于是令，有。由于所以也為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，故，與已知矛盾。因而只能，即，于是SOR法收斂。 誤差估計(jì) 設(shè)有方程組及一階定常迭代法如果有的某種算子范數(shù)，則(1) 迭代法收斂，即對(duì)任意的有且(2) (3) (4) 證明 ，結(jié)論(1)是顯然的事實(shí)。(2) 由關(guān)系式及，有(a) (b) 反復(fù)利用(b)即得(2)。(3) 利用(b)得于是(4) 反復(fù)利用(a)，則得到(4)。注：1），一般可取1，2或范數(shù)。結(jié)論（3）是近似解的誤差事后估計(jì)式，對(duì)于給定的精度（當(dāng)然應(yīng)當(dāng)選得恰當(dāng)，小于或接近于機(jī)器精度可能會(huì)造成死循環(huán)），只要不是很接近1，則可用來(lái)控制迭代終止。若，即使很小，也不能判定很小。2）結(jié)論（4）可用作迭代次數(shù)的估計(jì)。根據(jù)事先給定的精度，可以估算出迭代的次數(shù)：迭代法是否收斂雖與初始向量的選取無(wú)關(guān)，但由上面的公式看出對(duì)迭代次數(shù)卻有很大的影響，因而應(yīng)重視初始向量的選取。 迭代法的收斂速度及最佳松弛因子為非奇異矩陣，設(shè)是(61)的解，即以(62)式減去上式，并記誤差向量為，則有由此遞推得 (612)設(shè)迭代格法(62)收斂，即，從(612)知，現(xiàn)設(shè)，則有這里的矩陣范數(shù)均從屬于向量范數(shù)，根據(jù)范數(shù)的性質(zhì)有所以給出了迭代次后誤差向量范數(shù)與初始誤差向量范數(shù)之比的上確界。這樣，迭代次后，平均每次迭代誤差范數(shù)的壓縮率就可以看成是。如果要求迭代次后有 (613)其中因子是個(gè)小數(shù)。因?yàn)?，所以，我們可選擇足夠大的使這樣便可使上面的不等式(613)成立。對(duì)于所有使的，上式等價(jià)于 (614)所以達(dá)到(613)要求的最小迭代次數(shù)反比于。 稱為迭代法的平均收斂率。以上定義的是平均壓縮率的對(duì)數(shù)值（再取負(fù)號(hào)）。它是依賴于所選擇的范數(shù)和迭代次數(shù)。這樣給一些理論分析帶來(lái)不便。由于，我們?cè)俳o出下面的定理。 稱為迭代法的漸近收斂率，或稱漸近收斂速度。顯然，且與取何種范數(shù)及迭代次數(shù)無(wú)關(guān)。它反映的是迭代次數(shù)趨于無(wú)窮時(shí)迭代法的漸近性質(zhì)。為了達(dá)到(19)的要求，可以用代替(20)作為所需迭代次數(shù)的估計(jì)。 如果為三對(duì)角形正定矩陣，和分別是Jacobi和Seidel迭代法的迭代矩陣，則(1) (2) 最佳松弛因子(3) 松弛迭代矩陣的譜半徑。16
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