數(shù)值分析--第6章解線性方程組的迭代法(編輯修改稿)
2024-09-19 01:55 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 性方程組解 Jacobi迭代法的迭代公式為(算法語言)取，迭代9次的近似解。容易驗(yàn)證，方程組的精確解為。GS法的迭代公式為迭代6次的近似解。例2 取，用超松弛法求解方程組解 迭代公式為3 迭代法的收斂性 一階定常迭代法的基本定理 設(shè)，則（零矩陣）的充分必要條件是矩陣的譜半徑。證明 根據(jù)Jordan標(biāo)準(zhǔn)形定理，恒有非奇異方陣，使其中若當(dāng)塊且，顯然有，其中于是。引進(jìn)記號表示階方陣，其元素僅在對角線右上方第條平行線上的值為1，其余為0，即當(dāng)時。不難證得即具有特點(diǎn)：每乘一次，相當(dāng)于把元素為1的那條斜線向右上方推一步。以為例由于，其中為階單位陣。因此其中。利用極限，得到所以的充要條件是，即。 對任意的初始向量和右端項(xiàng)，由迭代格式 (611)產(chǎn)生的向量序列收斂的充要條件。證明 必要性。設(shè)存在向量，使得，則由此及迭代公式(612)，有于是因?yàn)闉槿我饩S向量，因此上式成立必須，即得。充分性。若，則不是的特征值，因而有，于是對任意維向量，方程組有唯一解，記為，即并且又因?yàn)樗裕瑢θ我獬跏枷蛄?，都有即由迭代公?611)產(chǎn)生的向量序列。推論1 對任一種矩陣范數(shù)，若，則收斂。推論2 SOR法收斂的必要條件是。證明 設(shè)有特征值。因?yàn)椋琒OR法收斂必有，又因?yàn)橛谑怯兴?。，迭代法收斂與否只決定于迭代矩陣的譜半徑，與初始向量以方程組的右端項(xiàng)無關(guān)。對同一方程組，由于不同的迭代法迭代矩陣不同，因此可能出現(xiàn)有的方法收斂，有的方法發(fā)散的情形。例3 研究用Jacobi和GaussSeidel迭代法解方程組的斂散性。(1) ； (2) 解 (1) Jacobi法的迭代矩陣為其特征方程為由已知得，所以，因此Jacobi迭代法收斂。如果用GaussSeidel法，迭代矩陣為特征方程由已知得特征值，所以，因此GaussSeidel迭代法發(fā)散。(2) J法的特征方程為令，因?yàn)樗栽谥杏幸桓?，于是因此Jacobi迭代法發(fā)散。G法的特征方程為得特征根，所以因此GS迭代法收斂。注：1）在求GS法和SOR法的特征方程時，注意到事實(shí)可避免求逆矩陣。2）J法和G法的收斂性沒有必然聯(lián)系。3），但實(shí)際使用時很不方便。因?yàn)榍笞V半徑卻是比較困難的事，因此常利用，
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