[理學(xué)]第二章解線性方程組的直接法(編輯修改稿)
2025-02-15 15:07 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 b的具體計算公式如下： ??????????????????????????????????????????????)1,2,1(/)(/)5(),3,2()4(),1,。,3,2(/)()3(),1,。,3,2()2(),3,2(/),2,1()1(111111111111111????????nniuxuyxuyxniymbybynkkinkuumamnkkjnkumauniuamnjauiinirririinnnnirririikkkrrkirikikkrrjkrkjkjiijj例： 用 Doolittle法解方程組 ju1 ja1?1111uam ii ???????????????????????????????????????????????????725101391444321131243301024321xxxx解 : 由 Doolittle分解 ? ?14131211 uuuu? ?Tmmm 4131211? ?30102 ??? ? ??? ?2423220 uuu ? ? ?? ????? 11kr rjkrkjkjumau? ?343300 uu?????? ??? 11211300? ?Tm 43100 ? ?T9100 ??? ?44000 u ? ?4000 ??? ?Tyyyy 4321 ? ?T1611/172022 ???? ?Txxxx 4321nnnn uyx ?iinirririi uxuyx????? 1? ?T4321?? ?Tmm 423210 T?????? ???11611310kkkrrkirikik uumam?????11解 Ly＝ b，得 解 Ux＝ y，得 ????? 11irririi ymby11 by ?? 直接三角分解的 Doolittle方法可用以下過程表示： ???????????????432144434241343332312423222114131211bbbbaaaaaaaaaaaaaaaa??????????????4535251544434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa?????????????????4321444342413433323124232221141312111bbbyaaamaaamaaamuuuuk?????????????????4321444342413433323124232221141312112bbyyaammaammuuumuuuuk?????????????????4321444342413433323124232221141312113byyyammmuummuuumuuuuk?????????????????4321444342413433323124232221141312114yyyyummmuummuuumuuuuk此方法稱 緊湊格式的 Doolittle法 。 從上式最后一個矩陣中可知 L， U， y， 然后解線性方程組 Ux＝ y。 ULy? 例： 用緊湊格式的 Doolittle分解法解上例方程組 解： ???????????????4535251544434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaA??????????????????????72510139144432113124330102??????????????????????????????????????????????????725101391444321131243301024321xxxx22 10 0 3 103 1711 12 2022133 4 22 1162 9 13 711k ??????????????? ? ???????????????????????????????????????164911621117112113113212021712112310301024kULy?????????????????????72510139144432113124330102??????????????????????????71391422432215131242310301021k???????????????????????????????713911621117112113113212021712112310301023k??????????????????????????????44911623112113113212217121123130102yUx解x??????????????????????????????43214321xxxxx所以 ????????????????????????????????164911621117112113113212021712112310301024kULy????????????????????????????????111211221222111???????nnnnnnuuullllllULAnrriulalrkkrikirir ,1,11????? ???nrrjlulaurkrrkjrkrjrj ,2,1,/)(11?????? ???計算公式： 二、 Crout分解法： 將矩陣 A分解為如下形式： 例 ： 求矩陣 A的 Crout分解： ??????????????303021112A)21()1(222 ?????l )21(3032 ????l )23/()]21()1(0[23 ?????u)]31()23()21(33[33 ???????l?????????????????????????1003/1102/12/1152/3302/31002A所以 ??????????????52/333/12/312/12/12? 若 n階實矩陣 A為對稱正定矩陣，則： ?（ 1） AT＝ A； ?（ 2）對任意的 X≠0，有 XTAX0； ?（ 3） A的各階順序主子式大于零。 三、對稱正定矩陣的 Cholesky分解法（平方根法） ????????????????????????????? nnnnnnnnuuuuuummmA,122112111,121111????????故 A可進(jìn)行 LU分解： 記 ?????????????nnnnuuuuuuU????22211211????????????????????????????1/1//11,1,111111122211nnnnnnnuuuuuuuuu?????1DU?TTTLLLDLDLDLDUDLDL D ULUA~~))(( 21212121121211??????),( 2211 nnuuud i a gD ?? 22211 )],([ nnuuud i a g ??則 A=LDU1 121211 UDDDUU ??即 A＝ LDLT －－稱 A的 LDLT分解 若記 則 －－稱 A的 LLT分解 = AT = U1TDLT = U1=LT LLT分解的計算公式： 對 A的第 i行元素 , 有 ( j =
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