第6章解線性方程組的迭代法(編輯修改稿)
2024-08-16 06:24 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 S GaussSiedel迭代算法 輸入系數(shù)矩陣 A和向量 b，和誤差控制 eps x2={1,1,…..,1} // 賦初值 while( ||A*x2b||eps) { for(i=0。in。i++) { for(j=0。ji。j++) { x2[i] += A[i][j]*x2[j] } for(j=i+1。jn。j++) { x2[i] += A[i][j]*x2[j] } x2[i]=(x2[i]b[i])/A[i][i] } } 輸出解 x2 數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS ? 迭代矩陣 )( )()1(1)1( bUxLxDx kkk ??? ???bDUxDxLDI kk 1)(1)1(1 )( ???? ???bDLDIUxDLDIx kk 111)(111)1( )()( ??????? ????bLDUxLDx kk 1)(1)1( )()( ??? ????bLDgULDG 11 )( , )( ?? ?????是否是原來的方程的解？ A=(DL)U 數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS ? 收斂條件 迭代格式收斂的充要條件是 G的譜半徑 1。我們看一些充分條件 定理：若 A滿足下列條件之一，則 Jacobi迭代收斂。 ① A為行或列對(duì)角占優(yōu)陣 ② A對(duì)稱正定陣 數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 證明： 設(shè) G的特征多項(xiàng)式為 )(?sP，則 ULDLDULDIGIP s ?????????? ?? )()()()( 11 ????ULDA ??? 為對(duì)角占優(yōu)陣，則 1?? 時(shí) ULD ?? )(? 為對(duì)角占優(yōu)陣 0)( ???? ULD?即 0)( ??sP1 ?? ? 即 1)( ?G?＃證畢 注： 二種方法都存在 收斂性問題 。 有例子表明： GaussSeidel法收斂時(shí)， Jacobi法可能不收斂；而 Jacobi法收斂時(shí)， GaussSeidel法也可能不收斂。 數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS ( 0 )1 8 0 71 0 9 , 8 , ( 0 , 0 , 0) 39。9 1 1 7A b x?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?預(yù)處理 9 1 1 71 8 0 , 71 0 9 8Ab??? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?格式 ( 1 ) ( ) ( )1 2 3( 1 ) ( 1 )11( 1 ) ( 1 )111 / 9 ( 7)1 / 8 ( 7)1 / 9 ( 8 )k k kkkkkx x xxxxx?????? ? ? ?????? ???數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS ( 1 )( 2 )( 3 )( 4 )( 0. 77 78 , 0. 97 22 , 0. 97 53 ) 39。( 0. 99 42 , 0. 99 93 , 0. 99 94 ) 39。( 0. 99 99 , 0. 99 99 , 0. 99 99 ) 39。( 1. 00 00 , 1. 00 00 , 1. 00 00 ) 39。xxxx???
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