[理學(xué)]線性方程組的解法(編輯修改稿)
2024-09-13 03:33 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 (1)利用ri,i=2,3, (2)利用ri,i=3, (3)利用ri,i= (4)顯然，方程組(4)與(1)是等價(jià)的，其系數(shù)矩陣為上三角狀的，(4)的回代求解，可以得到準(zhǔn)確解為X*=[1, 3, 2,1]T. 這一過(guò)程為高斯消去法的回代過(guò)程. 2 高斯消去法算法的構(gòu)造:記方程組AX=b為A(1)X=b(1), 其中，A(1)和b(1)的元素分別記為Step1:第一次消元 設(shè)，將增廣矩陣的第i行減去倍，(i=2,…,n),目的是將增廣矩陣的第一列內(nèi)除每一個(gè)元素不變外，其余全部消為零，得到A(2)X=b(2),即其中 Step2:第k次消元() 設(shè)第k1次消元已完成，且，得到A(k)X=b(k),即計(jì)算因子， 如此反復(fù)，經(jīng)過(guò)n1次消元之后得到一個(gè)與原方程組等價(jià)的上三角形方程組.Step3:回代 只要就可以回代求解3 高斯消去法[算法]Step1[消元]:對(duì)k=1,2,…,n1① 若則停止計(jì)算② 對(duì)i=k+1,k+2,…,n 計(jì)算因子。 對(duì)j=k+1,k+2,…,n 計(jì)算。Step2[回代]: 對(duì)i=n,n1,…,1 （高斯消去法的條件）(1) 若A的所有順序主子式均不為0，則高斯消元無(wú)需換行即可進(jìn)行到底，且得到唯一解.(2) 若消元過(guò)程中允許對(duì)增廣矩陣進(jìn)行行交換，則方程組Ax=b可用消去法求解的充要條件是A可逆.167。6 高斯主元素消去法1 主元素及其選取問(wèn)題Gauss消去法第k次消去是用第k個(gè)方程來(lái)消去第k +1,…,n個(gè)方程中的xk,，稱為第k次消去的主元(素).Gauss消去法存在的問(wèn)題是：(1) 順序消元時(shí)一旦產(chǎn)生(這是經(jīng)?？赡艿?，消元過(guò)程則中斷；(2) 此外，即使但絕對(duì)值很小時(shí)，由于用它作除數(shù)，引起在消去過(guò)程中出現(xiàn)數(shù)量級(jí)及舍入誤差急劇增長(zhǎng)的系數(shù)，而使最后的計(jì)算解嚴(yán)重地不可靠.例：?jiǎn)尉惹蠼夥匠探M其準(zhǔn)確解為 當(dāng)利用Gauss消元法時(shí)，舍入誤差 惡性傳播 基本思想: 主元素法是對(duì)Gauss消去法的改進(jìn). 它全面或局部地選取絕對(duì)值大的元素為主元素，僅對(duì)Gauss消去法的步驟作某些技術(shù)性地修改，.2 完全主元素消去法設(shè)方程組AX=b, 其中，A=(aij)n為非奇異陣，X=(x1,x2,…,xn)T, b=(b1,b2,…,bn)，得到下列等價(jià)方程組：① 選主元過(guò)程 在矩陣中選取絕對(duì)值最大的元素為主元素，保證 從而確定 ik , jk. ② 行變換和列交換If ik 185。 k then 交換第 k 行與第ik行。If jk 185。 k then 交換第 k 列與第jk列。值得注意的是，在全主元消去過(guò)程中，列交換已改變了x各分量的順序，因此，必須在每次列交換的同時(shí)，記錄調(diào)換后未知數(shù)的排列次序.③ 消元④ 回代求解⑤ 還原未知數(shù)的排列次序 全主元素Gauss消去法[算法]Step1[消元]:對(duì)k=1,2,…,n1① 選主元 確定 ik , jk,滿足② 若則停止計(jì)算，detA=0.③ If ik 185。 k then 交換第 k 行與第ik行。If jk 185。 k then 交換第 k 列與第jk列。④ 消元對(duì)i=k+1,k+2,…,n 計(jì)算因子。 對(duì)j=k+1,k+2,…,n 計(jì)算。Step2[回代]: ① 若則停止計(jì)算，detA=0.② 對(duì)i=n,n1,…,1Step3[還原排列次序]: 對(duì)i=1,2,…,n1 x* := yi(3) 列主元素消去法在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)主元素消去法意味著進(jìn)行數(shù)的比較操作，全選主元素法需要相當(dāng)多的計(jì)算時(shí)間，因此常采用局部選主元素的方法.列主元素消去法依次按列選主元素，只須進(jìn)行方程行 交換，不產(chǎn)生未知數(shù)次序的調(diào)換.① 按列選主元過(guò)程 設(shè)方程組AX=b的增廣矩陣為 首先在A(1) 中第一列選取絕對(duì)值最大的元素為主元素，保證 從而確定 ik. ② 行變換If ik 185。 1 then 交換第 1 行與第ik行。重復(fù)上述過(guò)程，設(shè)已完成第k1次按列選主元消元后，得到下列等價(jià)方程組： 在方框內(nèi)的諸元素中選取絕對(duì)值最大的元素為主元素，保證: 從而確定 ik. If ik 185。 k then 交換第 k 行與第ik行。然后進(jìn)行消元，如此進(jìn)行，直至k=n1為止. 列主元素Gauss消去法[算法]Step1[消元]:對(duì)k=1,2,…,n1① 選主元 確定 ik,滿足。② 若則停止計(jì)算
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