齊次和非齊次線性方程組的解法(整理定稿)(編輯修改稿)
2024-09-01 18:24 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 R(A)=3 4, r(AT)=3=m.(5)若r(A)=r =m,則AX=b必有解. 答:對,r(A)=r =m= r(A|b) . (6)若r(A)=r =n, 則AX=b必有唯一解. 答:錯,A為m180。n,當mn時, 可以r(A |b) =n+1.⑴ 唯一解： 線性方程組有唯一解【例題4】 解線性方程組解： 可見，則方程組有唯一解，所以方程組的解為⑵ 無解：線性方程組無解（或若階梯形方程組出現(xiàn)，則原方程組無解）【例題5】解線性方程組解：，可見，所以原方程組無解.⑶ 無窮多解：線性方程組有無窮多解【例題6】解線性方程組解：可見，則方程組有無窮多解，其同解方程組為 （其中,為自由未知量）令得原方程組的一個特解.又原方程組的導出組的同解方程組為（其中,為自由未知量）令，得；令，得，于是得到導出組的一個基礎解系為 。所以，原方程組的通解為 （，）.【例題7】 求線性方程組： 的全部解.解： 可見，所以方程組有無窮多解，其同解方程組為 （其中為自由未知量） 令，可得原方程組的一個特解.又原方程組的導出組的同解方程組為（其中為自由未知量）令（注：這里取2為了消去分母取單位向量的倍數(shù)），得，于是得到導出組的一個基礎解系為.所以，原方程組的通解為 （）.【例題8】求非齊次線性方程組的全部解。解： 因為，所以非齊次線性方程組有無窮多組解，取自由未知量為，原方程組與方程組同解取自由未知量為，得原方程組的一個特解： 再求其導出組的基礎解系，其導出組與方程組同解對自由未知量分別取，代入上式得到其導出組的一個基礎解系為：則原方程組的全部解為：三、證明與判斷【例題9】已知是齊次線性方程組AX＝0的一個基礎解系，證明也是齊次線性方程組AX＝0的一
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