[理學(xué)]44線(xiàn)性方程組的結(jié)構(gòu)(編輯修改稿)
2024-11-10 17:26 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ???341122121221A,0),( 21 ?? bbA,0,0 21 ??? AbAb的解是齊次方程 0, 21 ?? AXbb2)(),()2( 21 ?? BRbbR線(xiàn)性無(wú)關(guān)21 , bb?0?AX問(wèn)題轉(zhuǎn)為求齊次方程 的 2個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解 解 ????????????????341122121221A???????????????????00003421035201).,( 43 可任意取值xx???????????,342,352432431xxxxxx,0?AX解齊次方程 ).,( 43 可任意取值xx??????????,342,352432431xxxxxx,0143?????????????????xx令,01221?????????????????,30????????及,30452?????????????????令 即為 2個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解， 為基礎(chǔ)解系 ?????????????????30014252B 即可 . 與 AX = 0 基礎(chǔ)解系等價(jià)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量組也是該方程組的基礎(chǔ)解系． 證 ,0,21 的一個(gè)基礎(chǔ)解系是方程組設(shè) ?AXt??? ?,, 2121的向量組等價(jià)的線(xiàn)性無(wú)關(guān)是與 ??? tnaaa ??線(xiàn)性無(wú)關(guān)）（ aaa n,1 21 ?證明： .0, 21 的解都是故 ?AXaaa t?,,2 2121 線(xiàn)性表示可由）（ ??? ttaaa ??,03 的任一解為方程組）設(shè)（ ?AX?, 21 線(xiàn)性表示可由則 ???? t?., 21 線(xiàn)性表示也可由 aaa t???nBRAROBA nsmn ??? )()(, 證明設(shè),O?,0, 21 的解是 ?? AXbbb s?)( ARn ??證明： nBRAR ??? )()(的基礎(chǔ)解系線(xiàn)性表示可由 0, 21 ?? AXbbb s?)(),( 21 基礎(chǔ)解系RbbbR s ?? ?)(BR),( 21 sbbbB ??令),( 21 sbbbAAB ?? ),( 21 sAbAbAb ??例： 例 1證 明：21的秩階 矩 陣設(shè) ???? )(),()(An *ARnnAR證 .)( d e t,d e t)( * OIAAAAnAR ????? 于是：0知1由 ，.)()( * nARAR ??有 1所以 ??? )()( * ARnAR, 階 子式不 為 零1中有知1又由 ??? nAnR ( A ).)(, ** 1便有0因而 ?? ARA.)(, * 1所以 ?AR注 : 這道題結(jié)合前邊 85頁(yè)講過(guò)的例題 5一起討論了一個(gè)矩陣的伴隨矩陣的秩 ,是一個(gè)典型的例題 . ???????????????????mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa???????????????2211222221211121211111 ??? ? mnnm bXA 非 齊次線(xiàn)性方程組 bxxx nn ???? ??? ?2211向量表示 何時(shí) 無(wú)解 ? 何時(shí)有 唯一解 ? 何時(shí)有 無(wú)窮多解 ? ? ? ? ? ；時(shí)，方程組有無(wú)窮多解當(dāng) nbARAR ?? ,.1? ? ? ? .,.2 時(shí)，方程組有唯一解當(dāng) nbARAR ??定理 設(shè) A = (?1, ?2, …, ?n)， 則下列命題等價(jià) ： 1o b?L(?1, ?2, …, ?n)。 2o AX = b 有解 。 ).(),( ARbAR ?3o 證明 A(?1 ?2 ) 性質(zhì) 1 設(shè) ?1 , ?2 為 AX = b 的解，則 ?1 ?2為其導(dǎo) 出組的解 . = A?1 A?2 = b – b = 0 定義 稱(chēng) AX = 0 為 AX = b 的 導(dǎo)出組 . 非齊次線(xiàn)性方程組解的性質(zhì) ： 證明 A(? + ? ) 性質(zhì) 2 設(shè) ? 為 AX = b 的解， ? 為 AX = 0的解， 則 ? + ? 為 AX = b 的解 . = A? + A ? = b + 0 = b 非齊次方程組的 全體解向量 組成的集合， 對(duì)于加法和數(shù)乘運(yùn)算 不是封閉 的， 因此不是一個(gè)向量空間 注 AX = b 的任一解稱(chēng)為 AX = b 的 特解 定
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