[理學]44線性方程組的結構(編輯修改稿)
2024-11-10 17:26 本頁面
【文章內容簡介】 ???341122121221A,0),( 21 ?? bbA,0,0 21 ??? AbAb的解是齊次方程 0, 21 ?? AXbb2)(),()2( 21 ?? BRbbR線性無關21 , bb?0?AX問題轉為求齊次方程 的 2個線性無關的解 解 ????????????????341122121221A???????????????????00003421035201).,( 43 可任意取值xx???????????,342,352432431xxxxxx,0?AX解齊次方程 ).,( 43 可任意取值xx??????????,342,352432431xxxxxx,0143?????????????????xx令,01221?????????????????,30????????及,30452?????????????????令 即為 2個線性無關的解， 為基礎解系 ?????????????????30014252B 即可 . 與 AX = 0 基礎解系等價的線性無關的向量組也是該方程組的基礎解系． 證 ,0,21 的一個基礎解系是方程組設 ?AXt??? ?,, 2121的向量組等價的線性無關是與 ??? tnaaa ??線性無關）（ aaa n,1 21 ?證明： .0, 21 的解都是故 ?AXaaa t?,,2 2121 線性表示可由）（ ??? ttaaa ??,03 的任一解為方程組）設（ ?AX?, 21 線性表示可由則 ???? t?., 21 線性表示也可由 aaa t???nBRAROBA nsmn ??? )()(, 證明設,O?,0, 21 的解是 ?? AXbbb s?)( ARn ??證明： nBRAR ??? )()(的基礎解系線性表示可由 0, 21 ?? AXbbb s?)(),( 21 基礎解系RbbbR s ?? ?)(BR),( 21 sbbbB ??令),( 21 sbbbAAB ?? ),( 21 sAbAbAb ??例： 例 1證 明：21的秩階 矩 陣設 ???? )(),()(An *ARnnAR證 .)( d e t,d e t)( * OIAAAAnAR ????? 于是：0知1由 ，.)()( * nARAR ??有 1所以 ??? )()( * ARnAR, 階 子式不 為 零1中有知1又由 ??? nAnR ( A ).)(, ** 1便有0因而 ?? ARA.)(, * 1所以 ?AR注 : 這道題結合前邊 85頁講過的例題 5一起討論了一個矩陣的伴隨矩陣的秩 ,是一個典型的例題 . ???????????????????mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa???????????????2211222221211121211111 ??? ? mnnm bXA 非 齊次線性方程組 bxxx nn ???? ??? ?2211向量表示 何時 無解 ? 何時有 唯一解 ? 何時有 無窮多解 ? ? ? ? ? ；時，方程組有無窮多解當 nbARAR ?? ,.1? ? ? ? .,.2 時，方程組有唯一解當 nbARAR ??定理 設 A = (?1, ?2, …, ?n)， 則下列命題等價 ： 1o b?L(?1, ?2, …, ?n)。 2o AX = b 有解 。 ).(),( ARbAR ?3o 證明 A(?1 ?2 ) 性質 1 設 ?1 , ?2 為 AX = b 的解，則 ?1 ?2為其導 出組的解 . = A?1 A?2 = b – b = 0 定義 稱 AX = 0 為 AX = b 的 導出組 . 非齊次線性方程組解的性質 ： 證明 A(? + ? ) 性質 2 設 ? 為 AX = b 的解， ? 為 AX = 0的解， 則 ? + ? 為 AX = b 的解 . = A? + A ? = b + 0 = b 非齊次方程組的 全體解向量 組成的集合， 對于加法和數乘運算 不是封閉 的， 因此不是一個向量空間 注 AX = b 的任一解稱為 AX = b 的 特解 定
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