線性方程組ax=b的數(shù)值解法(j)(編輯修改稿)
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【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 022/8/28 高斯消去法和選主元（續(xù) 10） ? 選主元以減少誤差：把元素中的最大絕對(duì)值移到主對(duì)角線上 例 ? 偏序選主元策略 |akp|=max{|app|,|app+1|,…,| aN1p|,|aNp|} ? 按比例偏序選主元（平衡）策略 sr=max{|arp|,|arp+1|,…,| arN|} 其中 r=p,p+1,…, N 11| | | | | | | |m a x { , , , }k p p p p p N pk p p Na a a as s s s???華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 謝驪玲 2022/8/28 高斯消去法和選主元（續(xù) 11） ?病態(tài)問題：矩陣 A中元素的微小變化引起解的很大變化 ???????????????????32121xx?????????????1121xx???????????????????32121xx?????????????0321xx? ? cond(A)= 華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 謝驪玲 2022/8/28 2 1 0 1 2 3 4 0 . 500 . 511 . 522 . 5圖形解釋 華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 謝驪玲 2022/8/28 高斯消去法和選主元（續(xù) 12） ? 一個(gè)線性方程組稱為是病態(tài)的，如果其系數(shù)矩陣接近奇異且它的行列式接近 0 ? 矩陣條件數(shù) cond(A)=||A||||A1|| 華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 謝驪玲 2022/8/28 三角分解法 ? A=LU:下三角矩陣 L的主對(duì)角線為 1，上三角矩陣U的對(duì)角線元素非零 定義 如果非奇異矩陣 A可表示為下三角矩陣 L和上三角矩陣 U的乘積： A=LU，則 A存在一個(gè)三角分解 11 12 13 14 11 12 13 1421 22 23 24 21 22 23 2431 32 33 34 31 32 33 3441 42 43 44 41 42 43 441 0 0 01 0 0 010 001 0 0 0a a a a u u u ua a a a m u u ua a a a m m uua a a a m m m u? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ?A非奇異蘊(yùn)含著對(duì)所有的 k有 ukk≠0， k=1,2,3,4. 華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 謝驪玲 2022/8/28 矩陣的 LU分解 ? 是否所有的非奇異矩陣 A都能作 LU分解呢？ ? 一個(gè)例子： ? N階方陣 A有唯一 LU分解的充要條件是 A的各階順序主子式均不為零 0110A???????1010bdac? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 謝驪玲 2022/8/28 三角分解法（續(xù) 1） ? 利用前代 /回代算法求解形如 Lx=b或 Ux=b的線性方程組是容易的 ? 如果對(duì)一個(gè)給定的矩陣 A，能夠找到一個(gè)下三角矩陣 L和一個(gè)上三角矩陣 U，使 A=LU ? 則求解線性方程組 Ax=b的問題可以分解成兩個(gè)簡(jiǎn)單的問題： ? Ly=b ? Ux=y ? 易見： Ax=(LU)x=L(Ux)=Ly=b 華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 謝驪玲 2022/8/28 三角分解法（續(xù) 2） ? 假設(shè)已有矩陣 A: ? 對(duì) A作 LU分解 : ? 檢驗(yàn)分解結(jié)果 : 2312??? ????A100 .5 1??? ????L230 0 .5??? ????U1 0 2 3 1 * 2 0 * 0 1 * 3 0 * 0 .5 2 30 .5 1 0 0 .5 0 .5 * 2 1 * 0 0 .5 * 3 1 * 0 .5 1 2??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?LU華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 謝驪玲 2022/8/28 三角分解法（續(xù) 3） ? 構(gòu)造一系列乘數(shù)矩陣 M1, M2, M3, M4,…, MN1使得 : (MN1… M4M3M2M1)A是上三角矩陣，把它重新記成 U. ?對(duì) 4 4矩陣 A， M1可取 : 21111311141111 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1aaM aaaa?????????????????????華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 謝驪玲 2022/8/28 三角分解法（續(xù) 4） ? M2可取 : ? M3可?。? ? ?? ?? ?? ?13221221421221 0 0 00 1 0 00 1 00 0 1MAMMAMAMA?????????????????????? ?? ?3214321331 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 1MM M AM M A?????????????華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 謝驪玲 2022/8/28 三角分解法（續(xù) 5） ? 則 U=(M3M2M1)A是上三角形矩陣 ? 每個(gè) M矩陣都是下三角形矩陣 ? 如 M2的逆為 : ? 注意到每個(gè) M矩陣的逆只是它自身下三角部分元素取相反數(shù) ? A = (M3M2M1)1 U = (M1)1 (M2)1 (M3)1 U ? 定義 L = (M1)1 (M2)1 (M3)1，則 L就是一個(gè)對(duì)角元素全為 1的下三角矩陣，因?yàn)樗械?M矩陣的逆都是對(duì)角元素全為 1的下三角矩陣 ? ?? ?? ?? ?? ?11 3221221
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