[理學(xué)]方程組的解的結(jié)構(gòu)32線性方程組的求解(編輯修改稿)
2024-11-12 18:56 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 維數(shù)為解空間時(shí)當(dāng)系數(shù)矩陣的秩是一個向量空間構(gòu)成的集合的全體解所元齊次線性方程組)。0,(,)( 維向量空間為向量此時(shí)解空間只含一個零系故沒有基礎(chǔ)解方程組只有零解時(shí)當(dāng) nAR ?? ? .,,,)(1111221121RkkkkxSkkkkkxrnnrARrnrnrnrnrnrnrn???????????????????????????????? 解空間可表示為為任意實(shí)數(shù)其中方程組的解可表示為此時(shí)基礎(chǔ)解系個向量的方程組必有含時(shí)當(dāng)例 1 求齊次線性方程組 ?????????????????0377,02352,0432143214321xxxxxxxxxxxx的基礎(chǔ)解系與通解 . 解 ,0000747510737201137723521111~?????????????????????????????A 對系數(shù)矩陣 作初等行變換，變?yōu)樾凶詈喚? 陣，有 A ?????????.7475,7372432431xxxxxx 便得,100143 ??????????????????? 及令xx ,7473757221 ??????????????????? 及對應(yīng)有xx,107473,01757221?????????????????????????????? ??即得基礎(chǔ)解系).,(,10747301757221214321Rccccxxxx????????????????????????????????????????????? 并由此得到通解例 2 解線性方程組 ???????????????????????????076530230553203454321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解 ?????????????????????76513123115531234111A對系數(shù)矩陣施 行初等行變換 ?????????????????00000000001311034111~? ? ,rn,n,rAR 352 ?????即方程組有無窮多解， 其基礎(chǔ)解系中有三個線性無關(guān)的解向量 . ???????????543254321334xxxxxxxxx代入?????????????????????26220262201311034111~??????????543xxx令 ,??????????010,???????????001.??????????100所以原方程組的一個基礎(chǔ)解系為 ,???????????????? ??001121?故原方程組的通解為 .kkkx 332211 ??? ???.k,k,k 為任意常數(shù)其中 321,xx ?????? ????????1221依次得 .??????12,????????31,???????????????????010312? .?????????????????100123?例 3 ? , ? 取何值時(shí)，方程組 x1+2x3= ?1 ?x1+x2 ?3x3=2 2x1?x2+ ? x3= ? 無解？有唯一解？有無窮解？ 解： ?????????????????1223111201),( bA1 0 2 ?1 0 1 ?1 1 0 ?1 ??4 ?+2 1 0 2 ?1 0 1 ?1 1 0 0 ??5 ?+3 (I) ?=5, ? ??3 時(shí)，無解 . (II) ?=5, ? = ?3 時(shí) , 有無窮解 . (III) ??5 時(shí) , 有唯一解 . ????????????????1223111201例 設(shè)有線性方程組為 ???????????????????34324241333232313232222131321211axaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxax(1) 證明 :若 a1, a2, a3, a4 兩兩不等，則此方程無解； (2) 設(shè) a1= a3=k, a2= a4 =k (k≠0), 且已知 β1， β2是 此方程的兩個解，其中； β1=(1, 1, 1) ′,β2= (1, 1, 1) ′,寫出此方程的通解。 解 (1)增廣矩陣 B的行列式是 4階范德蒙行列式： ???????41242443323332222312111111jiijaaaaaaaaaaaaaaB ).(由于 a1, a2, a3, a4 兩兩不等，知 ︱ B︳ ≠0。從而 R(B)=4 但系數(shù)矩陣 A的秩 3，因此方程組無解； (2) a1= a3=k, a2= a4 =k (k≠0)時(shí)，方程
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