齊次線性方程組有非零解的條件(編輯修改稿)
2025-08-13 13:23 本頁面
【文章內容簡介】 組向量組 等價，所以等價，所以例例 2 若若 ，且，且 可由可由 線性表出，線性表出， 則則 與與 等價。等價。例例 3 若若 ， 則則 向量組的秩與矩陣秩的關系1. 矩陣矩陣 A的的 行秩行秩 = A的的 列秩列秩 = R(A) 證證2. 矩陣矩陣 A 經有限次初等行變換為矩陣經有限次初等行變換為矩陣 B， A 的任意的任意 k列與列與 B的的 相應相應 的的 k列列 具有相同的相關性具有相同的相關性即，矩陣的行變換不改變列的線性相關關系即，矩陣的行變換不改變列的線性相關關系補充補充3. 矩陣矩陣 A 經有限次初等經有限次初等 列變換列變換 為矩陣為矩陣 B， A 的任意的任意 k行與行與 B的相應的的相應的 k行行 具有相同的相關性具有相同的相關性即，矩陣的列變換不改變行的線性相關關系即，矩陣的列變換不改變行的線性相關關系補充補充例例 求向量組的秩，一個極大線性無關組，并將其它求向量組的秩，一個極大線性無關組，并將其它向量用所求的極大線性無關組線性表示向量用所求的極大線性無關組線性表示解：解： 解：解： 注意：初等變換求向量組的秩及極大線性無關組的方法。注意：初等變換求向量組的秩及極大線性無關組的方法。矩陣秩的一些矩陣秩的一些 結論結論 （（ 2）） 設設 A， B分別為分別為 mr 矩陣和矩陣和 rn 矩陣，則矩陣，則（（ 1）） 設設 A， B為為 mn 矩陣矩陣 ，則，則如果如果 A 或或 B可可逆是逆是什么什么結果結果（（ 4）） 設設 A， B分別為分別為 mn 和和 ns 矩陣矩陣 ，且，且 AB＝＝ 0，則則 R(A)＋＋ R(B) ≦n .（（ 3）） *定理定理 (Sylvester) 設設 A， B分別分別 為為 mn 及及 ns 矩陣，矩陣，則則 R (AB) ≧ R (A) ＋＋ R (B)－－ n .(3) 的證明 設 R(A)=r, R(B)=s ,所以存在可逆矩陣 P， Q 使得而，而， R(C1)= R(ABQ) = R(AB) ，所以，所以 R(AB)+ (ns) ≧ R(C) = R(A),即，即， R (AB) ≧ R (A) ＋＋ R (B)－－ n .(4) 可以由可以由 (3)得到，還可以由齊次線性方程組解的結構的得到，還可以由齊次線性方程組解的結構的 （后續(xù)）（后續(xù)）因為因為 而而 C1 含有含有 C 的的 S個列向量，個列向量，所以所以 R(C1)+(ns)≧ R(C)= R(A),例 設 A為 mn 矩陣， B為 nm 矩陣， nm, 證明：(AB)X=0有非零解。證明 顯然 AB為 mm 方陣，另外一方面，因此 AB的 m個列向量線性相關，即(AB)X=0 有非零解。齊次線性方程組有非零解的條件q 討論齊次線性方程組討論齊次線性方程組v 若記則則 齊次線性方程組可表示為齊次線性方程組可表示為 AX =0 (2)其中矩陣其中矩陣 A稱為齊次線性方程組的系數矩陣。稱為齊次線性方程組的系數矩陣。 若若都是齊次線性方程組（都是齊次線性方程組（ 1）解，則）解，則也是齊次線性方程組（也是齊次線性方程組（ 1）的解）的解齊次線性方程組解的結構齊次線性方程組（齊次線性方程組（ 1），）， 當它的系數矩陣的秩當它的系數矩陣的秩 r=n時，只有零解；時，只有零解； 當它的系數矩陣的秩當它的系數矩陣的秩 r＜＜ n時，有無窮多個解。時，有無窮多個解。 當齊次線性方程組有無窮多個解時，如何描述它的所有的解呢當齊次線性方程組有無窮多個解時，如何描述它的所有的解呢？下面我們對解的情況進行討論。？下面我們對解的情況進行討論。假定假定 ξξ 1， ξξ 2， …， ξξ k為齊次線性方程組為齊次線性方程組的的 k個解向量，如果個解向量，如果（（ a）） ξξ 1， ξξ 2， …， ξξ k線性無關；線性無關；（（ b）） 齊次線性方程組的任意解向量是齊次線性方程組的任意解向量是 ξξ 1， ξξ 2， …， ξξ k的線性組合，的線性組合，則稱則稱 ξξ 1， ξξ 2， …， ξξ k為齊次線性方程組為齊次線性方程組的一個的一個 基礎解系基礎解系 ?；A解系?與極大線性無關組的概念比較與極大線性無關組的概念比較注 v 齊次線性方程組的齊次線性方程組的 基礎解系基礎解系 不唯一不唯一 。v 基礎解系包含的解向量的基礎解系包含的解向量的 個數個數 唯一唯一 ( nr(A) )。v 基礎解系之間基礎解系之間 等價等價?與極大線性無關組的問題比較與極大線性無關組的問題比較基礎解系的求法基礎解系的求法 (舉例說明舉例說明 ) 例例 求齊次線性方程求齊次線性方程組的基礎解系組的基礎解系
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