齊次線性方程組有非零解的條件-wenkub.com
2025-07-14 13:23 本頁面
【正文】 表示方式。例例 6 設(shè)設(shè) 是非齊次線性方程組是非齊次線性方程組 Ax=b的一個(gè)解，的一個(gè)解， 是是 其對應(yīng)齊次線性方程組其對應(yīng)齊次線性方程組 Ax=0 的一個(gè)基礎(chǔ)解系，證明的一個(gè)基礎(chǔ)解系，證明 是非齊次線性方程組的是非齊次線性方程組的 nr+1 個(gè)線性無關(guān)的解向量，個(gè)線性無關(guān)的解向量，并且非齊次線性方程組的任意解向量并且非齊次線性方程組的任意解向量 ηη 可表為：可表為： 其中其中證證 顯然顯然 是非是非齊次線性方程組的齊次線性方程組的 n－－ r＋＋ 1個(gè)解向量，個(gè)解向量，先證其先證其 線性無關(guān)線性無關(guān) 。解解 的同解。 與原方程組同解的方程組為：與原方程組同解的方程組為：則方程組的通解為：則方程組的通解為：例例 4 設(shè)設(shè) A為為 n階矩陣，階矩陣， 證明證明 R（（ A）） =R（（ A?A）。1）當(dāng) a≠1時(shí)， R(A)=R(B)=4，這時(shí)原方程組有 唯一解 為為 (i) 若若 b≠－－ 1， R(B)=3≠R(A)，這時(shí)方程組，這時(shí)方程組 無解無解 。并求其唯一解和通解。 典型例題典型例題非齊次線性方程組非齊次線性方程組若記則非齊次線性方程組可表示為則非齊次線性方程組可表示為 AX = b非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)性質(zhì) 1 設(shè) 都是非齊次線性方程組的解，則 是其對應(yīng)齊次線性方程組的解。設(shè)設(shè) 設(shè)設(shè) 齊次線性方程組齊次線性方程組 AX=0的基礎(chǔ)解系的基礎(chǔ)解系 證明證明 也也 是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系例非 齊 次 線 性 方 程 組u求解齊次線性方程組求解齊次線性方程組解解 對系數(shù)矩陣作初等行變換：對系數(shù)矩陣作初等行變換：為自由未知量為自由未知量同同解解方方程程基礎(chǔ)基礎(chǔ)解系解系通解：通解：例例 設(shè)設(shè) A， B分別為分別為 mn 和和 ns 矩陣矩陣 ，且，且 AB＝＝ 0，則，則 R(A)＋＋ R(B) ≦n .用齊次方程組解得性質(zhì)證明下列結(jié)論用齊次方程組解得性質(zhì)證明下列結(jié)論 。根據(jù)同解線性方程組寫出其基礎(chǔ)解系和通解?；癁樾凶詈喰?，依此得到齊次線性方程組化為行最簡形，依此得到齊次線性方程組求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系有以下步驟：求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系有以下步驟：(1) 那么那么 ξ1， ξ2， …… ， ξnr 就是齊次線性方程組的就是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系 ?；A(chǔ)解系?與極大線性無關(guān)組的概念比較與極大線性無關(guān)組的概念比較注 v 齊次線性方程組的齊次線性方程組的 基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系 不唯一不唯一 。？下面我們對解的情況進(jìn)行討論。稱為齊次線性方程組的系數(shù)矩陣。注意：初等變換求向量組的秩及極大線性無關(guān)組的方法。推論推論 1：： 若若 向量組向量組 可由可由 向量向量 組組 線性表出，線性表出，且 線性無關(guān)， 則推論推論 2：： 若若 向量組向量組 與向量與向量 組組 等價(jià)，等價(jià)，則 且兩組向量都線性無關(guān)且兩組向量都線性無關(guān)，推論推論 3：： 若若 向量組向量組 可由可由 向量向量 組組 線性表出，線性表出，且 線性無關(guān)， 則 線性無關(guān)，且這兩組向量等價(jià)。推論推論 ：： 線性表出，線性表出， 則表示式唯一當(dāng)且僅當(dāng)則表示式唯一當(dāng)且僅當(dāng)線性無關(guān)。推論推論 2：：若若 向量組線性相關(guān)，則其截短向量組（向量組各向量截取一向量組線性相關(guān)，則其截短向量組（向量組各向量截取一些對應(yīng)位置的元素）也線性相關(guān)；些對應(yīng)位置的元素）也線性相關(guān)； 若向量組線性無關(guān)，則其延長向量組若向量組線性無關(guān)，則其延長向量組 （向量組各向量增加一（向量組各向量增加一些對應(yīng)位置的元素）些對應(yīng)位置的元素） 也線性無關(guān)。注： 向量組含有零向量必線性相關(guān)、向量組含有零向量必線性相關(guān)注：注： 兩個(gè)向量組成的、兩個(gè)向量組成的 向量組線性相關(guān)向量組線性相關(guān)? 向量的各分量向量的各分量對應(yīng)成比例對應(yīng)成比例注：注： 從幾何角度解釋：兩個(gè)三維向量線性相關(guān)，表示這、從幾何角度解釋：兩個(gè)三維向量線性相關(guān)，表示這兩個(gè)相向量在空間共線，兩個(gè)相向量在空間共線，三個(gè)三維向量線性相關(guān)，表示這三個(gè)相向量在空間共三個(gè)三維向量線性相關(guān)，表示這三個(gè)相向量在空間共面面例例 討論下列討論下列 n 維向量組的相關(guān)性維向量組的相關(guān)性有非零解有非零解向量組向量組 線性相關(guān)線性相關(guān) ? 線性方程組線性方程組推論推論 1其中其中定理：定理：齊次線性方程組齊次線性方程組 有非零解有非零解 ?系數(shù)矩陣的列向量線性相關(guān)系數(shù)矩陣的列向量線性相關(guān) 向量向量 的線性相關(guān)性與線性方程組的關(guān)系的線性相關(guān)性與線性方程組的關(guān)系若 上述結(jié)論如何？，注：此時(shí)矩陣為方陣其中其中線性相關(guān) ?推論推論 1* 矩陣矩陣 A降秩，即降秩，即? 即，矩陣即，矩陣 A是奇異的是奇異的向量組向
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