【正文】 (第 194頁 ) 現(xiàn)在我們用直接的方法來討論三對角方程的求解。 算法： 1. 的 分解過程：對 (1) (2) 對 矩陣的三角分解 A TLL 1, 2, ,jn?1 12 21()jjj jj jkkl a l???? ?1, ,i j n??11( ) / ( 1 , , )jij ij ik jk jjkl a l l l i j n??? ? ? ??Ly b? TL x y?11( ) /ii i ik k iiky b l y l???? ?1( ) /ni i k i k iikix y u x l???? ?1, 2, , ,in?, 1, ,1,i n n??TA LDL?Ly b? TDL x y? 矩陣的三角分解 2. 求解三角形方程組 和 ： (1) 對 (2) 對 為提高計算速度，可對本方法加以改進，用 將原來的方程分解為： 及 來計算，則不需 要開方運算。 定理：若 是正定的，則存在唯一的對角元素均為 正數(shù)的下三角矩陣 ，使得 證明：設 ，由于 對稱正定，故 的順序主子 式 因此，由定理存在唯一的分解 用 表示 的對角元素， 是以它們?yōu)閷蔷€元 素的對角矩陣，容易證明 ，于是 ，為了利用 的對稱性，將 再分解為 A AAL TA LL?()ij nAa? A A0 , 1 , 2 , , ,i in? ? ? A LU?12 , 1 , 2 , ,iid d d i n? ? ?12, , , nd d d U D0 , 1 , 2 , ,id i n?? A U11 1 2 1 1 1 1 122 2 2 20111nnnnu u u u uu uuU D Uu?? ???? ?????? ?????? 矩陣的三角分解 其中 為對角陣， 為單位上三角陣，于是有： 又因為 ，由分解的唯一性得到 故 ，進一步將 記為 ，則得到 故結論成立。 例：設 nk ,2,1 ?? LU),2,1(11niylbyikkikii ???? ???)1,1,(/)(1????? ???nniuxuyx iinikkikii????????????????????????????????5516,3101141101421126bA 矩陣的三角分解 計算可得： 即可求出方程的解。 A L UL U bAx?ybLy ?? xyUx ??A LUA? L 矩陣的三角分解 ? 直接三角分解法 我們可以導出直接分解方法將 分解成 和 的乘 積，一旦求得了 和 ，則原方程組 等價于求解 兩個三角形方程組： 設 為非奇異矩陣，且有分解式 ，其中 為單位下三角矩陣， 為上三角矩陣，即有： 由矩陣的乘法可得： A L UL U bAx?ybLy ?? xyUx ??A LUA ? LU?????????????????????????nnnnnn uuuuuulllA???????222112112121111 矩陣的三角分解 故有： 由矩陣的乘法可得： ?????????????????????????nnnnnn uuuuuulllA???????2221121121211111 1 1 2 12 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 21 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2nnnn n n n n n n n nu u ul u l u u l u uAl u l u l u l u l u u???????? ? ? ???),2,1(11 njau jj ??? 矩陣的三角分解 故有： 以此類推，可得： Auulululululuuluululuuunnnnnnnnnnnn???????????????????????22112221211112121221221112111211),2,1(11 njau jj ???),3,2(/ 11111111 niualaul iiii ?????),3,2(1212222121 njulauauul jjjjjj ???????),4,3(/)( 221221222222121 niuulalaulul iiiii ???????),1,(11nkkjulaukrrjkrkjkj ????? ???),1,(/)(11nkkiuulal kkkrrkirikik ????? ??? 矩陣的三角分解 對 交替利用上面兩個式子即可求出 和 。具體算法如下： 算法： 1. 消元過程，對 (1) 選主元，找 使得 (2) 若 ，則停止，推出 (3) 若 ，則換行， (4) 消元，對 對 ()kkka() 0kkika ?1 , 2 , , 1kn??{ , 1 , , }ki k k n?? ( ) ( )m a xkkki k ikk i naa???det 0A ?kik? ( ) ( ) ( , , 1 )kkkk j i ja a j k n? ? ?1, ,i k n??( ) ( )/kkik ik k km a a?1 , , 1j k n? ? ?( 1 ) ( ) ( )k k kij ij ik k ja a m a? ??回代過程： (1)若 ，則停止 (2)對 det 0A ?, ,1in?( ) ( ) ( ),11( ) /nn n ni i n ij j iijix a a x a????? ?() 0nnna ? 高斯主元素消去法 ? 全主元高斯消去法 如果我們在選取列主元后發(fā)現(xiàn)選出的主元絕對值 仍然較小，則可考慮在整個矩陣范圍選主元，這就是 所謂的全主元消去法，此時要注意的是，在做列的變 換時，要同時記錄當前變量的次序，以免自變量的含 義不清?，F(xiàn)在證明唯一性。 這就是說，高斯消元法實際上產(chǎn)生了一個將 分解 為兩個三角形矩陣的方法，于是得到如下的定理： ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( )1 2 1 1 2 1,nnnnL L L A A L L L b b?? ??1 1 11 2 1nA L L L U L U? ? ? ???()nA U211 1 11 2 1 3 1 3 21 2 31111nn n nmL L L L m mm m m? ? ??????????????A 高斯消去法 定理 7： (矩陣的 LU分解 ) 設 為 階矩陣，如果 的順序主子式 ，則 可分解為一 個單位下三角矩陣 和一個上三角矩陣 的乘積，且 這種分解是唯一的。 設系數(shù)矩陣 的各順序主子式均不為零。 定理的必要性顯然。首先研究保 證 的條件。 高斯算法對于某些簡單的矩陣可能會失敗，例如 ，因此需要對算法 1進行修改。 () 0 ( 1 , 2 , , )kkka k n??Ax b?( 1, 2 , , 1 )kn??( ) ( )( 1 ) ( ) ( )( 1 ) ( ) ( )/ ( 1 , , )( , 1 , , )( 1 , , )kkik ik k kk k kij ij ik k jk k ki i ik km a a i k na a m a i j k nb b m b i k n??? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ??( ) ( ) ( ) ( ) ( )1/ , ( ) / ( 1 , 2 , , 1 )nn n k k kn n n n k k k j j k kjkx b a x b a x a k n n??? ? ? ? ? ??A( 1 ) , m i n ( 1 , ) ,mnA R m s m n?? ? ? ?() 0 ( 1 , 2 , , )kkka k s??A()kA ikm ikaA 高斯消去法 ? 算法 1（高斯算法）設 如果 ，本算法用高斯方法將 約化為 上梯形，且 覆蓋 ，乘數(shù) 覆蓋 。 如果 非奇異，且 ，則回代得到 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )11 1 1 2 1 1( 2 ) ( 2 ) ( 2 )22 2 2 2( ) ( )nnnnnn n nxa a a bxa a bAxab? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?????? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?mn?mn? mn?() 0 ( 1 , 2 , , )kkka k n??nnRA ??( ) ( ) ( ) ( ) ( )1/ , ( ) / ( 1 , 2 , , 1 )nn n k k kn n n n k k k j j k kjkx b a x b a x a k n n??? ? ? ? ? ??A () 0kkka ?() 0kkka ?Ax b? nnAR?? 高斯消去法 由于矩陣 非奇異，因此，如果遇到 ，只需要交 換行就可以使得新的 ，消元就可以繼續(xù)進行。 如果 非奇異，且 ，則回代得到 ( 1 , , )i i k m?? 1k?m kx ( 1 ) ( 1 )kkA x b???( 1 ) ( ) ( ) ( 1 , , 。 2 , , )i j i j i ja a m a i m j n? ? ? ?( 2 ) ( 1 ) ( 1 )11 ( 2 , , )i i ib b m b i m? ? ?(2 ) (2 )A x b? 1k? 高斯消去法 簡記為 其中 (2) 依上述方法對 繼續(xù)消元，經(jīng)過 步以 后，得到與原方程組等價的方程組 簡記為 設 令 ，用 乘第 個 (2 ) (2 )A x b?( 2 ) ( 1 ) ( 1 )11 ( 2 , , 。 (3) 的特征值 (4) 的順序主子式都大于零，即 nnRA ??AAAA1?A),2,1(