【正文】 它們?yōu)閷蔷€元 素的對角矩陣，容易證明 ，于是 ，為了利用 的對稱性，將 再分解為 A AAL TA LL?()ij nAa? A A0 , 1 , 2 , , ,i in? ? ? A LU?12 , 1 , 2 , ,iid d d i n? ? ?12, , , nd d d U D0 , 1 , 2 , ,id i n?? A U11 1 2 1 1 1 1 122 2 2 20111nnnnu u u u uu uuU D Uu?? ???? ?????? ?????? 矩陣的三角分解 其中 為對角陣， 為單位上三角陣，于是有： 又因為 ，由分解的唯一性得到 故 ，進(jìn)一步將 記為 ，則得到 故結(jié)論成立。 用 表示 的對角元素， 是以它們?yōu)閷蔷€元 素的對角矩陣，容易證明 ，于是 ，為了利用 的對稱性，將 再分解為 12 , 1 , 2 , ,iid d d i n? ? ?12, , , nd d d U D0 , 1 , 2 , ,id i n?? A U11 1 2 1 1 1 1 122 2 2 20111nnnnu u u u uu uuU D Uu?? ???? ?????? ??????D 0U0A L U L DU??0 ()T T TA A U D L?? 0TUL?TA LDL? D 1122DD1 1 1 12 2 2 211( ) ( )T T TA L D D L L D L D L L? ? ?其中 為對角陣， 為單位上三角陣，于是有： 又因為 ，由分解的唯一性得到 故 ，進(jìn)一步將 記為 ，則得到 故結(jié)論成立。 算法： 1. 的 分解過程：對 (1) (2) 對 D 0U 矩陣的三角分解 0A L U L D U??0 ()T T TA A U D L?? 0TUL?TA LDL? D 1122DD1 1 1 12 2 2 211( ) ( )T T TA L D D L L D L D L L? ? ?A TLL 1, 2, ,jn?1 12 21()jjj jj jkkl a l???? ?1, ,i j n??11( ) /jij ij ik jk jjkl a l l l???? ?2. 求解三角形方程組 和 ： (1) 對 (2) 對 為提高計算速度，可對本方法加以改進(jìn)，用 將原來的方程分解為： 及 來計算，則不需 要開方運(yùn)算。具體算法見教材第 192頁。 算法： 1. 的 分解過程：對 (1) (2) 對 矩陣的三角分解 A TLL 1, 2, ,jn?1 12 21()jjj jj jkkl a l???? ?1, ,i j n??11( ) / ( 1 , , )jij ij ik jk jjkl a l l l i j n??? ? ? ??Ly b? TL x y?11( ) /ii i ik k iiky b l y l???? ?1( ) /ni i k i k iikix y u x l???? ?1, 2, , ,in?, 1, ,1,i n n??TA LDL?Ly b? TDL x y? 矩陣的三角分解 2. 求解三角形方程組 和 ： (1) 對 (2) 對 為提高計算速度，可對本方法加以改進(jìn)，用 將原來的方程分解為： 及 來計算，則不需 要開方運(yùn)算。具體算法見教材第 192頁。 ? 追趕法 在前面講到三彎矩算法時，我們曾遇到三對角方程 組，其一般形式為： Ly b? TL x y?11( ) /ii i ik k iiky b l y l???? ?1( ) /ni i k i k iikix y u x l???? ?1, 2, , ,in?, 1, ,1,i n n??TA LDL?Ly b? TDL x y?1 1 1 12 2 2 2 231 1 1 1n n n nn n n nb c x fa b c x fab c x fa b x f? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 矩陣的三角分解 簡記為 ，其中，當(dāng) 時， ，且 (1) ， (2) (3) 直接利用矩陣的 分解，即可得出結(jié)論。 (第 194頁 ) ? 追趕法 在前面講到三彎矩算法時，我們曾遇到三對角方程 組，其一般形式為： 1 1 1 12 2 2 2 231 1 1 1n n n nn n n nb c x fa b c x fab c x fa b x f? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?Ax f? 1ij?? 0ija ?11 0bc??, , 0 , ( 2 , 3 , , 1 )i i i i ib a c a c i n? ? ? ? ?0nnba??LU 矩陣的三角分解 簡記為 ，其中，當(dāng) 時， ，且 (1) ， (2) (3) 直接利用矩陣的 分解，即可得出結(jié)論。 (第 194頁 ) 現(xiàn)在我們用直接的方法來討論三對角方程的求解。 將方程組寫為： Ax f? 1ij?? 0ija ?11 0bc??, , 0 , ( 2 , 3 , , 1 )i i i i ib a c a c i n? ? ? ? ?0nnba??1 1 1 2 12 1 2 2 2 3 23 2 3 3 3 4 31 2 1 1 1 11n n n n n n nn n n n nb x c x fa x b x c x fa x b x c x fa x b x c x fa x b x f? ? ? ? ? ??????? ? ??? ? ? ????? ? ? ??????LU 矩陣的三角分解 由第一式解得： ，其中 代入第二式，得： 即： ，其中 代入第三式，得： 即： 將方程組寫為： 1 1 1 2 12 1 2 2 2 3 23 2 3 3 3 4 31 2 1 1 1 11n n n n n n nn n n n nb x c x fa x b x c x fa x b x c x fa x b x c x fa x b x f? ? ? ? ? ??????? ? ??? ? ? ????? ? ? ??????1 1 21 1 1 21f c xxxb ???? ? ? 1111,fcbb??? ? ?2 1 2 1 2 2 2 2 3 2a a x b x c x f??? ? ? ?2 2 1 2 32 2 2 32 1 2f a c xxxab? ?????? ? ??2 2 1 2222 1 2 2 1 2,f a ca b a b??????? ? ???3 2 3 2 3 3 3 3 4 3a a x b x c x f??? ? ? ? 矩陣的三角分解 由第一式解得： ，其中 代入第二式，得： 即： ，其中 代入第三式，得： 即： ，其中 一般地，令： 可得： ，這樣，到最后得到： 代入最后一個方程，得到： 故： ，從而求得了 ，因此可得一切 1 1 21 1 1 21f c xxxb ???? ? ? 1111,fcbb??? ? ?2 1 2 1 2 2 2 2 3 2a a x b x c x f??? ? ? ?2 2 1 2 32 2 2 32 1 2f a c xxxab? ?????? ? ??2 2 1 2222 1 2 2 1 2,f a ca b a b??????? ? ???3 2 3 2 3 3 3 3 4 3a a x b x c x f??? ? ? ?3 3 2 3 43 3 3 43 2 3f a c xxxab? ?????? ? ??3 3 2 3333 2 3 3 2 3,f a ca b a b??????? ? ???1k k k kxx?? ???10011, , 0k k k kk k nk k k k k kf a ca b a b?? ? ? ? ???????? ? ? ? ? ???1 1 1n n n nxx??? ? ???11n n n n n n n na a x b x f????? ? ?11n n nnnn n nfaxab? ????????nx kx 矩陣的三角分解 現(xiàn)考慮擬三對角方程組： ，其中 一般地，令： 可得： ，這樣，到最后得到： 代入最后一個方程，得到： 故： ，從而求得了 ，因此可得一切 3 3 2 3 43 3 3 43 2 3f a c xxxab? ?????? ? ??3 3 2 3333 2 3 3 2 3,f a ca b a b??????? ? ???1k k k kxx?? ???10011, , 0k k k kk k nk k k k k kf a ca b a b?? ? ? ? ???????? ? ? ? ? ???1 1 1n n n nxx??? ? ???11n n n n n n n na a x b x f????? ? ?11n n nnnn n nfaxab? ????????nx kx??????????????????????????????????????????????????????nnnnnnnnnnffffxxxxbaccbacbaacb