線性方程組的解法-資料下載頁
2025-08-07 11:23本頁面
【正文】 ????????????????21ii nniiiJ??????????????11?其中 , Ji 為 Jordan塊 其中 ,λi 是矩陣 B的特征值 , 由 B = P –1 J P B k = (P –1 J P) (P –1 J P) (P –1 J P)= P –1 J k P 迭代法 x(k+1) = Bx(k) + f收斂 = 0Blim ???kk0Jlim ???kk0lim ???kik ?(i = 1, 2,, r) 1|| ?i?(i = 1, 2,, r) 1||m ax1 ??? iri ?譜半徑 ?(B) 1 10 0 51 . 2 6 0 4 e)B( ??J?例 線性方程組 Ax = b, 分別取系數(shù)矩陣為 ?????????? ??122111221A 1?????????????211111112A 2試分析 Jacobi 迭代法和 Seidel 迭代法的斂散性 ????????????????022101220JB(1) ?????????????200320220SB12)( ??SB?(2) A2=[2, 1, 1。 1, 1, 1。 1, 1, 2] ??????????????02/12/11012/12/10JB)( ??JB????????????????2/1002/12/102/12/10SB12/1)( ??SB?兩種迭代法之間沒有直接聯(lián)系 對矩陣 A1,求 A1x = b 的 Jacobi迭代法收斂 ,而GaussSeidel迭代法發(fā)散 。 對矩陣 A2,求 A2x = b 的 Jacobi迭代法發(fā)散 ,而GaussSeidel迭代法收斂 . 證 由 ?(k) = B ?(k1),得 || ?(k)|| ≤ || B|| || ?(k1)|| (k = 1, 2, 3, ) 0l im )( ???kk?所以 定理 (迭代收斂的充分條件 )設有迭代公式 x(k+1) =Bx(k) +f，如果 ||B||1, 則對任意初始向量x(0)和任意 f，迭代公式收斂。 || ?(k)|| ≤ || B||k || ?(0)|| 0||||||||lim||||lim )0()( ???????? kkkkB|| B|| 1 定義 A=(aij)n n, 如果 則稱 A為嚴格對角占優(yōu)陣 . ????nijjijii aa1||||例 ????????????????131581079321321321xxxxxxxxx?????????????????15111101119A9 |1| + |1| 10 |1| + |1| 15 |1| + |1| |a11| |a12| + |a13| |a22| |a21| + |a23| |a33| |a31| + |a32| 定理 若 Ax=b的系數(shù)矩陣 A是嚴格對角占優(yōu)矩陣 ,則 Jacobi迭代和 Seidel迭代均收斂 證 由于矩陣 A嚴格對角占優(yōu) 由 A矩陣構造 Jacobi迭代矩陣 BJ = D1(D – A) 第 i行絕對值求和 ???nijjijiiaa 1||||1所以 1}||||1{m a x||||11?? ??????nijjijiiniJaaB1||||11????nijjijiiaa????nijjijii aa1||||例 試對下列方程組建立收斂的迭代公式 ???????????????12401122133311321321321xxxxxxxxx解 通過觀察可發(fā)現(xiàn)這個方程組的系數(shù)矩陣不是對角占優(yōu)的。但經(jīng)行交換后可得下列等價形式 ???????????????13331112401122321321321xxxxxxxxx此等價形式的系數(shù)矩陣是嚴格對角占優(yōu)陣，據(jù)此建立的雅可比迭代公式和高斯－塞德爾迭代公式收斂。 收斂速度：稱 R(B)=ln?(B) 為迭代法的漸進收斂速度簡稱收斂速度。
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