第6章解線性方程組的迭代法-資料下載頁
2024-07-29 06:24本頁面
【正文】 1( )())1(()( ??????? ?????? ?????bDLDIgUDILDIG111111)( ))1(()( ??????????????????定理： 松弛迭代收斂 20 ??? ?定理： A對(duì)稱正定，則松弛迭代收斂 20 ??? ?是否是原來的方程的解？ 數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS SOR方法收斂的快慢與松弛因子 ?的選擇有密切關(guān)系 .但是如何選取最佳松弛因子 ,即選取 ?=?*,使 ?(163。?)達(dá)到最小 ,是一個(gè)尚未很好解決的問題 .實(shí)際上可采用試算的方法來確定較好的松弛因子 .經(jīng)驗(yàn)上可取 ?. 數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 定理 若 SOR方法收斂 , 則 0?2. 證 設(shè) SOR方法收斂 , 則 ?(163。?)1,所以 |det(163。?)| =|?1?2… ?n|1 而 det(163。?) =det[(D?L)1 ((1?)D+?U)] =det[(E?D1L)1 ]det[(1?)E+?D1U)] =(1?)n 于是 |1?|1, 或 0?2 數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 定理 設(shè) A是對(duì)稱正定 矩陣 , 則解方程組 Ax=b的 SOR方法 ,當(dāng) 0?2時(shí)收斂 . 證 設(shè) ?是 163。?的任一特征值 , y是對(duì)應(yīng)的特征向量 , 則 [(1?)D+?U]y=? (D?L)y 于是 (1?)(Dy,y)+?(Uy,y)=?[(Dy,y)?(Ly,y)] )()()())(1(yLy ,yD y ,yU y ,yD y ,????????數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 由于 A=DLU是對(duì)稱正定的 , 所以 D是正定矩陣 , 且 L=UT. 若記 (Ly,y)=?+i?, 則有 (Dy,y)=?0 (Uy,y)=(y,Ly)=(Ly,y) =?i? 0(Ay,y)=(Dy,y)(Ly,y)(Uy,y) =?2? 所以 )()()1(??????????ii??????2222222)()(||???????????????????數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 當(dāng) 0?2時(shí) ,有 (???+??)2(???)2= (2????)(2???) = ?? (2??)(2?)0 所以 |?|21, 因此 ?(163。?)1,即 S0R方法收斂 . 可得 ?=2?/? 設(shè) ?是 B的任一特征值 , y是對(duì)應(yīng)的特征向量 , 則 (L+U)y=?Dy 于是 (Ly,y)+(Uy,y)=?(Dy,y) 數(shù) 學(xué) 系 University of Science and Technology of China DEPARTMENT OF MATHEMATICS 當(dāng) A對(duì)稱正定時(shí) ,即 2??0時(shí) ,|?|1? 2?+?0 而 ((2DA)y,y)=(Dy,y)+(Ly,y)+(Uy,y) =?+2? 即 ,當(dāng) A對(duì)稱正定時(shí) ,Jacobi迭代法收斂 ?2DA正定
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