[理學(xué)]線性方程組的解法-資料下載頁(yè)
2025-08-17 03:33本頁(yè)面
【正文】 解方程組 解: 用Doolittle算法計(jì)算得: 解得LY=(14,18,20)T,得Y=(14,10,72)T UX=(14,10,72)T,得X=(1,2,3)T167。8 追趕法1 三對(duì)角方程組 具有如下形式的方程組：稱(chēng)為三對(duì)角方程組.特點(diǎn)：其系數(shù)矩陣為一種帶狀的稀疏矩陣，非零元素集中分布在主對(duì)角線及相鄰兩條次對(duì)角線上，且系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣，即利用高斯消元法，經(jīng)過(guò)n1次消元后，可得等價(jià)的方程組：其中， 追的過(guò)程利用回代依次求出，于是, 趕的過(guò)程HW: （希望上機(jī)實(shí)習(xí)）□167。9 其它應(yīng)用1 計(jì)算|A| 設(shè)A=(aij)n:a) det(A)=det(AT)。b) 數(shù)a乘A的一行得：det=adet(A)。c) A的兩行互換得：det=det(A)。d) A的一行乘以a加到另一行得：det=det(A)。e) A的兩行成比例：det(A)=0。f) det(AB)=det(A)det(B)。 其中B=(bij)n由以上定理可知，通過(guò)高斯消元法的計(jì)算可得到行列式的值.例1 用列主元素法求det(A)的值，其中 解：由矩陣A的LU分解過(guò)程，可知，因此，若用列主元素法求行列式的值，只須將每一步的主元素相乘即可，.1 計(jì)算A1 在某些應(yīng)用中，如在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，可能還需要計(jì)算矩陣A的逆，并且將它明顯地表示為A1. 利用A的LU分解計(jì)算A1設(shè)A=(aij)n為滿秩矩陣，則AX=I， (1)這里I為單位矩陣，顯然X為A的可逆矩陣A1.將方程(1)改寫(xiě)為A[X(1),X(2),…,X(n)]=[I(1),I(2),…,I(n)] (2)其中，X(j), I(j)分別表示X和I的第j列.于是，方程(2)又可改寫(xiě)為n個(gè)線性方程組的形式: AX(j)=I(j) , (3)由于這n個(gè)方程組的系數(shù)矩陣相同，故可應(yīng)用LU分解法來(lái)進(jìn)行計(jì)算，這樣A1=[X(1),X(2),…,X(n)].并且能夠極大地節(jié)省計(jì)算工作量. 利用高斯消元法計(jì)算A1例如：對(duì)矩陣，求A1.解: 故 □167。10 誤差分析1 問(wèn)題的提出設(shè)方程組AX=b, 其中，A=(aij)n為非奇異陣，X=(x1,x2,…,xn)T, b=(b1,b2,…,bn), bi往往是觀測(cè)數(shù)據(jù)，難免帶有誤差，因此，我們下面討論原始數(shù)據(jù)的微小變化對(duì)方程組的影響.2 例題的準(zhǔn)確解為,當(dāng)向量b以較小的擾動(dòng)時(shí),即b=()T,這時(shí)方程組的準(zhǔn)確解為,說(shuō)明右端項(xiàng)的微小變化引起了解的很大擾動(dòng)，其原因是由方程組本身的狀態(tài)所決定的.下面分別討論右端項(xiàng)bi的誤差對(duì)解的影響以及系數(shù)矩陣元素aij的誤差對(duì)解的影響.2 右端項(xiàng)bi的誤差對(duì)解的影響設(shè) A 精確，有誤差，得到的解,即而 于是, 上式說(shuō)明右端項(xiàng)的相對(duì)誤差在解中放大了倍.3 系數(shù)矩陣元素aij的誤差對(duì)解的影響設(shè)b精確，A有誤差，得到的解為，即或者,(只要||dA||充分小，使得，有 上式表明：當(dāng)||dA||充分小，矩陣A的相對(duì)誤差在解中可能放大了倍. 稱(chēng)cond(A)=為矩陣A的條件數(shù).當(dāng)cond(A)1時(shí)，則方程組是“病態(tài)”的；當(dāng)cond(A)較小時(shí)，則方程組是“良態(tài)”:（1） cond(A)=（2） cond(A)=特別地，若 A 對(duì)稱(chēng)，則.3 例題已知,求A的條件數(shù).解: 由,于是39206“病態(tài)”的167。11 總結(jié)[高斯消去法]，；列選主元素消去法等.[直接三角分解法]，=B=(b1,b2,…,bm)是相當(dāng)便利的，每解一個(gè)方程組AX=bi僅需增加n2次乘除法運(yùn)算.迭代法是一種逐次逼近方法，注意到在使用迭代法時(shí)，Xk+1=BX(k)+f ，其迭代矩陣B和迭代向量f在計(jì)算過(guò)程中始終不變，迭代法具有循環(huán)的計(jì)算公式、，針對(duì)不同的問(wèn)題，分析并采用適當(dāng)?shù)臄?shù)值算法，如GuassSeidel方法、SOR方法等.對(duì)以上算法的分析，我們對(duì)于方法的掌握不僅在數(shù)學(xué)推導(dǎo)和數(shù)學(xué)公式上，而且應(yīng)當(dāng)深入思考方法的計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)過(guò)程，以加深對(duì)數(shù)值計(jì)算的認(rèn)識(shí)和理解.作業(yè)講評(píng)2[] 設(shè)在方程的根的附近有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且，證明迭代公式具有局部收斂性.證：因，又由在的附近連續(xù)，則存在的某鄰域：， 由此可知，當(dāng)時(shí)，. □[] 試證用牛頓法求方程在[1，3]內(nèi)的根具有線性收斂性.證：令，因此，根據(jù)Newton方法有: 由于,故.于是 從而得證.
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