[理學(xué)]線性方程組的解法(已修改)
2025-08-29 03:33 本頁面
【正文】 第三章 線性方程組的解法167。2 作業(yè)講評2167。 引言 167。 雅可比(Jacobi)迭代法 167。 高斯塞德爾(GaussSeidel)迭代法167。 超松馳迭代法167。 迭代法的收斂性 167。 高斯消去法167。 高斯主元素消去法167。3 作業(yè)講評3167。 三角分解法167。 追趕法 167。 其它應(yīng)用167。 誤差分析 167。 總結(jié) 引言 重要性：、電路分析、熱傳導(dǎo)和振動、以及社會科學(xué)及定量分析商業(yè)經(jīng)濟中的各種問題. 分類：線性方程組的解法可分為直接法和迭代法兩種方法.(a) 直接法：對于給定的方程組，在沒有舍入誤差的假設(shè)下，.(b) 迭代法：基于一定的遞推格式，此外，,誘人.1 雅可比Jacobi迭代法 (AX=b)1 基本思想:與解f(x)=0 的不動點迭代相類似,將AX=b改寫為X=BX+f 的形式,建立雅可比方法的迭代格式：Xk+1=BX(k)+f ,其中，,特別適用于求解系數(shù)為大型稀疏矩陣(sparse matrices)的方程組.2 問題:(a) 如何建立迭代格式？ (b) 向量序列{Xk}是否收斂以及收斂條件?3 例題分析:考慮解方程組 (1)其準(zhǔn)確解為X*={1, , }.建立與式(1)相等價的形式： (2)據(jù)此建立迭代公式： (3) 取迭代初值,迭代結(jié)果如下表. 迭代次數(shù) x1 x2 x30 0 0 01 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 Jocobi迭代公式:設(shè)方程組AX=b, 通過分離變量的過程建立Jocobi迭代公式，即 由此我們可以得到Jacobi迭代公式：[Jacobi迭代公式的算法]1: 初始化. n, (aij), (bj), (x1) , M.2: 執(zhí)行k=1直到M為止.① 執(zhí)行i=1直到n為止. 。② 執(zhí)行i=1直到n為止. 。③ 輸出k, (xi).另外，我們也可以建立Jacobi迭代公式的矩陣形式.設(shè)方程組AX=b,其中，A=(aij)n為非奇異陣，X=(x1,x2,…,xn)T, b=(b1,b2,…,bn)T將系數(shù)陣A分解為: A=U+D+L,U為上三角矩陣，D為對角矩陣，L為下三角矩陣.于是AX=b可改寫為(U+D+L)X=b X=D1bD1(U+L)X由此可得矩陣形式的Jocobi迭代公式： Xk+1=BX(k)+f □167。2 高斯塞德爾GaussSeidel迭代法注意到利用Jocobi迭代公式計算時，已經(jīng)計算好的值，而Jocobi迭代公式并不利用這些最新的近似值計算，,即在每個分量的計算中盡量利用最新的迭代值，得到上式稱為GaussSeidel迭代法.其矩陣形式是X=(D+L)1UX+(D+L)1b, Xk+1=BX(k)+f .迭代次數(shù) x1 x2 x3 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 167。3 超松馳迭代法SOR方法1 基本思想:逐次超松弛迭代法(Successive Over Relaxation Method,簡寫為SOR)可以看作帶參數(shù)ω的高斯塞德爾迭代法，.2 SOR算法的構(gòu)造:設(shè)方程組AX=b, 其中，A=(aij)n為非奇異陣，X=(x1,x2,…,xn)T, b=(b1,b2,…,bn)T.假設(shè)已算出x(k)， (1)相當(dāng)于用高斯塞德爾方法
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