【正文】 第四章 線性方程組 消元法 矩陣的秩 線性方程組可解的判別法 線性方程組的公式解 結(jié)式和判別式 偉大的數(shù)學(xué)家，諸如阿基米得、牛頓和高斯等，都把理論和應(yīng)用視為同等重要而緊密相關(guān)。 ——克萊因（ Klein F， 1849－ 1925） 消元法 線性方程組的初等變換 矩陣的初等變換 階梯形矩陣 線性方程組有解的判別 : 會用消元法解線性方程組 : 線性方程組的消元解法 前一章中我們只討論了這樣的線性方程組，這種方程組有相等個數(shù)的方程和未知量，并且方程組的系數(shù)行列式不等于零，在這一章我們要討論一般的線性方程組： 在實際的解線性方程組時，比較方便的方法是 消元法 . （ 1） 例 1 解線性方程組： 從第一和第三個方程分別減去第二個方程的 1/2倍和 2倍，來消去這兩個方程中的未知量 .25342,3335,13121321321321?????????xxxxxxxxx（ 2） )( 11 的系數(shù)化為零即把 xx得到： 4233352121213232131???????????xxxxxxx.421,33353231321?????????xxxxxxx為了計算的方便，把第一個方程乘以 2 后，與第二 個方程交換，得： 2x把第二個方程的 2倍加到第三個方程，消去后一方程 中的未知量 ，得到 .213335332321???????xxxxxx239353221?????xxxx234321????xxx現(xiàn)在很容易求出方程組（ 2）的解 . 從第一個方程 減去第三個方程的 3倍，再從第二個方程減去第三 個方程，得 再從第一個方程減去第二個方程的 5/3倍，得： 這樣我們就求出方程組的解 . ① 交換兩個方程的位置； ②用一個不等于零的數(shù)某一個方程； ③ 用一個數(shù)乘某一個方程后加到另一個方程 . 線性方程組的初等變換 線性方程的初等變換： 對方程組施行下面三種變換： 這三種變換叫作線性方程組的初等變換 . 定理 初等變換把一個線性方程組變?yōu)橐粋€與 它同解的線性方程組 線性方程組的（ 1）的系數(shù)可以排成下面的一個表： 而利用（ 1）的系數(shù)和常數(shù)項又可以排成下表： ??????????????mnmmnnaaaaaaaaa???????212222111211（ 3） ??????????????mmnmmnnbaaabaaabaaa????????21222221111211（ 4） ??????????????stssttccccccacc???????212222111211ijc定義 1 由 st個數(shù) 排成一個 s行 t 列的表 叫做一個 s行 t列（或 s t）的矩陣， ijc 叫做這個矩陣的元素 . 注意：矩陣和行列式在形式上有些類似，但有完全不同的意義，一個行列式是一些數(shù)的代數(shù)和，而一個矩陣僅僅是一個表 . 矩陣（ 3）和（ 4）分別叫作線性方程組（ 1）的系 數(shù)矩陣和增廣矩陣 . 一個線性方程組的增廣矩陣顯 然完全代表這個方程組 . 定義 2 矩陣的行（列）初等變換指的是對一個矩陣 施行的下列變換： 3) 用某一數(shù)乘矩陣的某一行（列）后加到另一行 （列），即用某一數(shù)乘矩陣的某一行（列）的每一 個元素后加到另一行（列）的對應(yīng)元素上 . 1) 交換矩陣的兩行（列） 2) 用一個不等于零的數(shù)乘矩陣的某一行（列），即 用一個不等于零的數(shù)乘矩陣的某一行（列）的每一 個元素； 顯然，對一個線性方程組施行一個初等變換，相當(dāng)于對它的增廣矩陣施行一個對應(yīng)的行初等變換，而化簡線性方程組相當(dāng)于用行初等變換化簡它的增廣矩陣 . 因此我們將要通過化簡矩陣來討論化簡方程組的問題 .下我們給出一種方法，就一個線性方程組的增廣矩陣來解這個線性方程組，而不必每次把未知量寫出 . 在對于 一個線性方程組施行初等變換時，我們的目的是消去未知量，也就是說，把方程組的左端化簡 . 因此我們先來研究，利用三種行初等變換來化簡一個線性方程組的系數(shù)矩陣的問題 . 在此，為了敘述的方便，除了行初等變換外，還允許交換矩陣的兩列，即允許施行第一種列初等變換 . 后一種初等變換相當(dāng)于交換方程組中未知量的位置，這不影響對方程組的研究 . 在例 1中，我們曾把方程組（ 2）的系數(shù)矩陣 ????????????????5342335113121 ??????????????1001103351 先化為 ??????????100010001然后，進(jìn)一步化為 定理 設(shè) A是一個 m行 n列的矩陣： ???????????????mnmmnnaaaaaaaaaA???????212222111211通過行初等變換和第一種列初等變換能把 A化為 以下形式： ????????????????????????00000**1000****10*****1????????????????????????????????行r(5) 這里 , nrmror ??? * 表示矩陣的元素，但 不同位置上的 * 表示的元素未必相同 . ija證 若是矩陣 A的元素 都等于零，那么 A 已有（ 5）的形式 進(jìn)而化為以下形式， ?????????????????????????00001000001000011,21,211,1??????????????????????????????????rnrrnrnrcccccc（ 6） ija1 乘第一行，然后由其余各行分別減去第一行的適 當(dāng)倍數(shù)，矩陣 A化為 ija設(shè)某一 不等于零，必要時交換矩陣的行和 列，可以使這個元素位在矩陣的左上角 . ???????????????**0**0**1???????B若 B 中，除第一行外，其余各行的元素都是零， 那么 B 已有（ 5）的形式 . 設(shè) B 的后 m – 1 行中有 一個元素 b 不為零，把 b 換到第二行第二列的 交點位置，然后用上面同樣的方法，可把 B 化為 ????????????????**00**00**10***1?????????如此繼續(xù)下去，最后可以得出一個形如（ 5）的矩陣 . 形如（ 5）的矩陣可以進(jìn)一步化為形如（ 6）的矩陣是 顯然的 . 只要把由第一，第二， … ，第 r – 1 行 分別減去第 r 行的適當(dāng)倍數(shù)，再由第一，第二， … ， 第 r – 2行分別減去第 r – 1行的適當(dāng)倍數(shù)，等等 . 考察方程組（ 1）的增廣矩陣（ 4） . 由定理 ，我們可以對（ 1）的系數(shù)矩陣（ 3）施行一些初等變換而把它化為矩陣（ 6） . 對增廣矩陣（ 4）施行同樣的初等變換，那么（ 4）化為以下形式的矩陣： ??????????????????????????mrrrnrrnrnrdddccdccdcc000010001000111,221,2111,1????????????????????????????????(7) 與（ 7）相當(dāng)?shù)木€性方程組是 mrrirnirriiniriiniridddxcxcxdxcxcxdxcxcxnrrnrnr?????????????????????0011,221,2111,111211???????????????????????????????（ 8） 由于方程組（ 8）可以由方程組（ 1）通過方程組的初等變換以及交換未知量的位置而得到，所以由定理，方程組（ 8）與方程組（ 1）同解 . 因此，要解方程組（ 1），只需解方程組（ 8） . 但方程組（ 8）是否有解以及有怎樣的解都容易看出 . niii , 21 ?這里 是 1， 2， … ， n 的一個全排列 . 情形 1， mr ddmr , 1 ??? 而這時方程組（ 8）無解，因為它的后 m – r 個方程中 至少有一個無解 . 因此方程組（ 1）也無解 . 不全為零， 情形 2， 當(dāng) r = n 時，方程組（ 9）有唯一解，就是 ntdx ti t ,2,1, ???這也是方程組（ 1）的唯一解 . mr ddmrmr ,1 ???? 而或全為零，這時方程組（ 8）方程組 rirnirriiniriiniridxcxcxdxcxcxdxcxcxnrrnrnr?????????????????????????????????112111,221,2111,1同解 . (9) 當(dāng) r n 時，方程組（ 9）可以改寫成 nrrnrnrirnirrri